Dada z=x^{3} y-y^{2} \cos x \operatorname{com} x=t^{2}+1 e y=e^{3 t}, calcule \frac{d z}{d t} usando a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
z(x,y)=x^{3}y - y^{2}\cos x
com as parametrizações
x(t)=t^{2}+1, \quad y(t)=e^{3t},
e pede \frac{dz}{dt} usando a regra da cadeia. Vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e y, e das derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z:
a) \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x} — trate y como constante. Da soma x^{3}y - y^{2}\cos x vem
\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}y)=3x^{2}y, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(-y^{2}\cos x)=-y^{2}(-\sin x)=y^{2}\sin x.
Logo
\frac{\partial z}{\partial x}=3x^{2}y + y^{2}\sin x.
b) \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y} — trate x como constante. Da soma x^{3}y - y^{2}\cos x vem
\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}y)=x^{3}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(-y^{2}\cos x)=-2y\cos x.
Logo
\frac{\partial z}{\partial y}=x^{3} - 2y\cos x.

Passo 3

Derivamos x(t) e y(t) em relação a t:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(t^{2}+1)=2t, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(e^{3t}\bigr)=3e^{3t}=3y.

Passo 4

Usamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
\frac{dz}{dt} =\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Substituindo os valores encontrados, primeiro em termos de x,y,t:
\frac{dz}{dt} =(3x^{2}y + y^{2}\sin x)\,(2t) +(x^{3}-2y\cos x)\,(3y).
Agora fazemos x=t^{2}+1 e y=e^{3t}:
\frac{dz}{dt} =6t\,(t^{2}+1)^{2}e^{3t} \;+\;2t\,e^{6t}\sin(t^{2}+1) \;+\;3\,(t^{2}+1)^{3}e^{3t} \;-\;6\,e^{6t}\cos(t^{2}+1).

Resposta

\frac{dz}{dt} =6t\,(t^{2}+1)^{2}e^{3t} +2t\,e^{6t}\sin(t^{2}+1) +3\,(t^{2}+1)^{3}e^{3t} -6\,e^{6t}\cos(t^{2}+1).

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