- Considere a função
dada por:
A população
de uma espécie em um tempo
, dado em anos, pode ser calculada através da função
da seguinte maneira:
é o maior inteiro menor que ou igual a
.
(a) Determine a população inicial, isto é, calcule
.
(b) Mostre que a função
é crescente. Conclua que essa função é injetiva.
(c) A função
é crescente? Justifique.
(d) Determine o conjunto imagem da função
.
(e) Determine a função inversa de
.
(a) Determine a população inicial, isto é, calcule
(b) Mostre que a função
(c) A função
(d) Determine o conjunto imagem da função
(e) Determine a função inversa de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida para
, e define
. Precisamos:
(a) calcular ;
(b) mostrar que é crescente e, portanto, injetiva;
(c) discutir se é crescente;
(d) obter a imagem de ;
(e) achar .
(a) calcular
(b) mostrar que
(c) discutir se
(d) obter a imagem de
(e) achar
Passo 2
(a) Para
temos
Como
, segue
Passo 3
(b) Vamos derivar
. Defina
então
. Calculamos
Logo
Assim
para todo
, ou seja,
é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente é injetiva.
Passo 4
(c) A função
só aumenta quando
ultrapassa um inteiro. Em intervalos onde
varia, digamos, de
a
sem atingir
,
fica constante em
. Logo
é não decrescente, mas não é estritamente crescente (não é injetiva).
Passo 5
(d) Em
,
. Quando
,
e
sem jamais atingir
. Como
é contínua e estritamente crescente, sua imagem é o intervalo
Passo 6
(e) Para achar
, resolvemos
Tomando logaritmo:
Portanto,
Resposta
(a)
(b) é estritamente crescente, logo injetiva
(c) é não decrescente, mas não estritamente crescente
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)