1. Considere a função \tilde{P} dada por:
\tilde{P}(t)=\frac{100.000}{100+900 \cdot 2^{-t}}
A população P de uma espécie em um tempo t \in[0, \infty), dado em anos, pode ser calculada através da função \tilde{P} da seguinte maneira: P(t) é o maior inteiro menor que ou igual a \tilde{P}(t).
(a) Determine a população inicial, isto é, calcule P(0).
(b) Mostre que a função \tilde{P} é crescente. Conclua que essa função é injetiva.
(c) A função P é crescente? Justifique.
(d) Determine o conjunto imagem da função \tilde{P}.
(e) Determine a função inversa de \tilde{P}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
\tilde{P}(t)=\frac{100.000}{100+900\cdot2^{-t}},
definida para t\in[0,\infty), e define P(t)=\lfloor\tilde{P}(t)\rfloor. Precisamos:
(a) calcular P(0);
(b) mostrar que \tilde{P} é crescente e, portanto, injetiva;
(c) discutir se P é crescente;
(d) obter a imagem de \tilde{P};
(e) achar \tilde{P}^{-1}.

Passo 2

(a) Para t=0 temos
\tilde{P}(0)=\frac{100.000}{100+900\cdot2^{0}} =\frac{100.000}{1000}=100.
Como P(0)=\lfloor\tilde{P}(0)\rfloor, segue
P(0)=\lfloor100\rfloor=100.

Passo 3

(b) Vamos derivar \tilde{P}. Defina
D(t)=100+900\cdot2^{-t},
então \tilde{P}(t)=100.000/D(t). Calculamos
D'(t)=900\cdot2^{-t}\cdot(-\ln2)=-900\ln2\;2^{-t}.
Logo
\tilde{P}'(t) =-100.000\frac{D'(t)}{D(t)^2} =-100.000\frac{-900\ln2\;2^{-t}}{(100+900\cdot2^{-t})^2} >0.
Assim \tilde{P}'(t)>0 para todo t, ou seja, \tilde{P} é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente é injetiva.

Passo 4

(c) A função P(t)=\lfloor\tilde{P}(t)\rfloor só aumenta quando \tilde{P}(t) ultrapassa um inteiro. Em intervalos onde \tilde{P}(t) varia, digamos, de n a n+1 sem atingir n+1, P(t) fica constante em n. Logo P é não decrescente, mas não é estritamente crescente (não é injetiva).

Passo 5

(d) Em t=0, \tilde{P}(0)=100. Quando t\to\infty, 2^{-t}\to0 e
\tilde{P}(t)\to\frac{100.000}{100}=1000,
sem jamais atingir 1000. Como \tilde{P} é contínua e estritamente crescente, sua imagem é o intervalo
\mathrm{Im}(\tilde{P})=[100,1000).

Passo 6

(e) Para achar \tilde{P}^{-1}(y), resolvemos
y=\frac{100.000}{100+900\cdot2^{-t}} \;\Longrightarrow\; 100+900\cdot2^{-t}=\frac{100.000}{y} \;\Longrightarrow\; 2^{-t}=\frac{100.000/y-100}{900} =\frac{100(1000-y)}{900y} =\frac{1000-y}{9y}.
Tomando logaritmo:
-t\ln2=\ln\!\Bigl(\frac{1000-y}{9y}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{\ln2}\ln\!\Bigl(\frac{9y}{1000-y}\Bigr).
Portanto,
\tilde{P}^{-1}(y) =\frac{1}{\ln2}\,\ln\!\Bigl(\frac{9y}{1000-y}\Bigr), \quad y\in[100,1000).

Resposta

(a) P(0)=100
(b) \tilde{P} é estritamente crescente, logo injetiva
(c) P é não decrescente, mas não estritamente crescente
(d) \mathrm{Im}(\tilde{P})=[100,1000)
(e) \displaystyle \tilde{P}^{-1}(y)=\frac{1}{\ln2}\ln\!\Bigl(\frac{9y}{1000-y}\Bigr),\;y\in[100,1000)

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