Considere a função de transferência:
G(s)=\frac{s+2}{s^{2}+5 s+6}
Determine:
a) Os polos do sistema;
b) Os zeros do sistema;
c) Classifique a estabilidade do sistema;
d) Explique fisicamente o significado dos polos encontrados.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
G(s)=\frac{s+2}{s^{2}+5s+6}
e pede quatro coisas:
  • (a) determinar os polos do sistema;
  • (b) determinar os zeros do sistema;
  • (c) classificar a estabilidade do sistema;
  • (d) explicar fisicamente o significado dos polos encontrados.
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: (s+2).
  • Denominador: (s^{2}+5s+6).
Nenhuma outra informação externa foi dada (por ex., modelo de estado), então trabalhar-se-á apenas com essa função de transferência algebraica.

Passo 2

Vamos começar encontrando os polos: polos são as raízes do denominador, ou seja, os valores de s que tornam o denominador zero. Então precisamos resolver
s^{2}+5s+6=0.
Para resolver essa quadrática fatoramos o polinômio buscando dois números cuja soma seja 5 e produto seja 6. Esses números são 2 e 3. Portanto fatoramos:
s^{2}+5s+6=(s+2)(s+3).

Passo 3

Agora obtemos as raízes do denominador a partir da fatoração:
(s+2)(s+3)=0 \quad\Rightarrow\quad s=-2 \quad\text{ou}\quad s=-3.
Portanto, os polos da função de transferência (ou seja, as raízes do denominador) são s=-2 e s=-3.

Passo 4

Agora encontramos os zeros: zeros são as raízes do numerador, ou seja, os valores de s que anulam o numerador. Resolva
s+2=0 \quad\Rightarrow\quad s=-2.
Logo há um zero em s=-2.

Passo 5

Observação importante sobre fator comum: o numerador tem o fator (s+2) e o denominador também tem (s+2). Há, portanto, um fator comum que pode ser cancelado algébrica e formalmente. Cancelando (s+2) obtemos a forma simplificada da função de transferência:
G(s)=\frac{s+2}{(s+2)(s+3)}=\frac{1}{s+3},
válida desde que se considere a expressão algébrica simplificada. Note que após a simplificação a função reduzida tem apenas o polo s=-3 aparentemente visível.

Passo 6

Classificação de estabilidade — critérios e aplicação:
  • Explicação didática do critério: para sistemas lineares invariantes no tempo descritos por uma função de transferência racional, a estabilidade BIBO (estabilidade em resposta a entradas limitadas) é garantida se e somente se todos os polos da função de transferência tiverem parte real estritamente negativa (isto é, estiverem no semiplano esquerdo). Polos com parte real positiva geram modos que crescem exponencialmente (instáveis). Polos na parte real igual a zero podem gerar modos não-dissipativos (marginalmente estáveis ou instáveis dependendo da multiplicidade).
  • Aplicando ao nosso caso: as raízes encontradas do denominador original são s=-2 e s=-3, ambas com parte real negativa. Portanto, do ponto de vista da função de transferência dada, o sistema é BIBO estável (as respostas naturais decaem exponencialmente).
  • Observação sobre o cancelamento: como vimos, um dos polos ( s=-2) coincide com um zero e é cancelado na expressão simplificada \dfrac{1}{s+3}. Para a função de transferência medida entre entrada e saída isso significa que a dinâmica associada a s=-2 não aparece na entrada-saída (foi anulada). Contudo, se esse polo representar um modo interno do sistema (por exemplo em representação em espaço de estados), ele pode ainda existir internamente mesmo que seja “invisível” na saída — isto tem implicações de estabilidade interna vs. estabilidade BIBO. Em resumo:
    • Pela função de transferência dada a entrada-saída é estável (polos na metade esquerda).
    • Mas se houver cancelamento exato na modelagem isso pode esconder um modo interno; em sistemas reais, cancelamento exato é frágil e pode não ocorrer devido a erros de modelagem ou variações de parâmetro.

Passo 7

Significado físico dos polos (aula prática):
  • Um polo em s=p corresponde a um modo natural do sistema cuja contribuição temporal é proporcional a e^{pt} (assumindo evolução temporal e^{st}). Assim:
    • Polo em s=-3 corresponde a um modo decaindo como e^{-3t}. A constante de tempo desse modo é \tau=\dfrac{1}{3} (em unidades de tempo do sistema) — isto é, essa componente decai rápido (característica de amortecimento forte).
    • Polo em s=-2 corresponde a um modo decaindo como e^{-2t} com constante de tempo \tau=\dfrac{1}{2} — decai mais lentamente que o modo -3.
  • Interpretação física mais “amigável”: cada polo descreve como o sistema “naturalmente” reage quando não há entrada (resposta natural). Polos negativos significam que o sistema dissipa energia e volta ao repouso; polos mais negativos significam que essa volta é mais rápida.
  • Se o polo s=-2 foi cancelado pelo zero em s=-2 (como ocorreu algébricamente), então na saída medida esse modo específico não aparece: mesmo que internamente exista um estado que evolua como e^{-2t}, sua projeção na saída é nula (ou extremamente pequena se o cancelamento não for exato). Isso é típico quando o atuador/excitador e o sensor estão “alinhados” de forma a anular aquela combinação modal.

Passo 8

Exemplos e cautelas práticas (para você aplicar na prova):
  • Exemplo concreto rápido: imagine um circuito elétrico com duas indutâncias acopladas ou duas massas acopladas por molas. Pode haver dois modos naturais (duas frequências/constantes de tempo). Se o sensor só mede uma combinação linear dos estados que anula um modo, então esse modo não aparece na função de transferência entrada→saída (zero cancela polo).
  • Cuidado prático: cancelamento exato requer parâmetros exatamente iguais; ruído, não linearidades ou erro de modelagem normalmente evitam cancelamento perfeito, fazendo com que um modo quase-cancelado ainda apareça (às vezes com amplitude muito pequena mas presente). Portanto não confunda “cancelamento algébrico” com ausência física segura do modo.

Resposta

a) s=-2,\\\ -3
b) s=-2
c) O sistema é estável (todos os polos têm parte real negativa; a forma simplificada é \dfrac{1}{s+3}).
d) Cada polo corresponde a um modo natural do sistema com comportamento temporal e^{st}: s=-3 gera um modo que decai como e^{-3t} ( \tau=\tfrac{1}{3}) e s=-2 gera um modo que decai como e^{-2t} ( \tau=\tfrac{1}{2}). O zero em s=-2 cancela esse polo na expressão entrada→saída, o que significa que esse modo fica invisível na saída (pode ainda existir internamente se o cancelamento não for físico/exato).

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