Considere uma firma uniproduto cuja tecnologia é descrita pela seguinte função de produção y=3 x_{1} \sqrt{x_{2}}, sendo y a quantidade produzida em um dado período de produção utilizando x_{1} do insumo 1 e x_{2} do insumo 2 . Com base em tal função de produção, pede-se:
(a) As produtividades marginais.
(b) Uma estimativa da variação da produção para quaisquer pequenas variações de x_{1} e x_{2}, utilizando o diferencial total de primeira ordem.
(c) Se a firma estiver usando inicialmente a combinação de insumos (5,4), qual será a variação estimada da produção se a quantidade do insumo 1 aumentar 0,25 e a quantidade do insumo 2 diminuir 0,5 ?
(d) A função de produção é homogênea? Em caso afirmativo, de que grau? A tecnologia representada pela função de produção acima apresenta que tipo de retornos de escala?

Passo 1

O enunciado dá a função de produção e pede quatro coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Função de produção dada: y=3 x_{1}\sqrt{x_{2}}.
  • Variáveis: x_{1} e x_{2} são as quantidades dos insumos 1 e 2, e y é a quantidade produzida.
  • Pede-se:
    (a) calcular as produtividades marginais (ou seja, as derivadas parciais de y em relação a x_{1} e a x_{2});
    (b) escrever uma estimativa da variação da produção para pequenas variações de x_{1} e x_{2} usando o diferencial total de primeira ordem;
    (c) avaliar essa estimativa quando a combinação inicial é (x_{1},x_{2})=(5,4) e as variações são \Delta x_{1}=+0{,}25 e \Delta x_{2}=-0{,}5;
    (d) verificar se a função é homogênea; em caso afirmativo, achar o grau e dizer que tipo de retornos de escala isso implica.

Passo 2

Conceito e cálculo da produtividade marginal em relação a x_{1}.
  • Conceito: a produtividade marginal do insumo x_{1}, denotada por \text{PM}_{1} ou \dfrac{\partial y}{\partial x_{1}}, é a taxa de variação de y quando só x_{1} varia infinitesimalmente e x_{2} é mantido fixo.
  • Regra prática: calcular a derivada parcial de y em relação a x_{1} tratando x_{2} como constante.
Cálculo passo a passo:
y=3 x_{1}\sqrt{x_{2}}.
Aqui \sqrt{x_{2}} é uma constante ao derivar em relação a x_{1}. Então
\frac{\partial y}{\partial x_{1}}=3\sqrt{x_{2}}.
Explanação: multiplicar por x_{1} tem derivada 1; sobra o coeficiente 3\sqrt{x_{2}}.

Passo 3

Conceito e cálculo da produtividade marginal em relação a x_{2}.
  • Conceito: a produtividade marginal do insumo x_{2}, \text{PM}_{2}=\dfrac{\partial y}{\partial x_{2}}, é a taxa de variação de y quando só x_{2} varia infinitesimalmente e x_{1} é mantido fixo.
  • Regra prática: derivar em relação a x_{2}, agora x_{1} é tratado como constante. Usar a derivada de \sqrt{x_{2}}, que é \dfrac{1}{2\sqrt{x_{2}}}.
Cálculo passo a passo:
y=3 x_{1}\sqrt{x_{2}} = 3 x_{1} \cdot (x_{2})^{1/2}.
Derivando:
\frac{\partial y}{\partial x_{2}} = 3 x_{1} \cdot \frac{1}{2}(x_{2})^{-1/2} = \frac{3 x_{1}}{2\sqrt{x_{2}}}.
Explanação: aplicou-se a regra de potência \dfrac{d}{dx}(x^{1/2})=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}, multiplicando pelo fator constante 3x_{1}.

Passo 4

Interpretação econômica rápida das produtividades marginais e forma compacta das respostas do item (a).
  • \dfrac{\partial y}{\partial x_{1}}=3\sqrt{x_{2}}: o quanto a produção aumenta por uma unidade adicional de x_{1}, mantendo x_{2} fixo. Note que essa produtividade não depende de x_{1} (é independente de x_{1}) e aumenta com x_{2} (porque aparece \sqrt{x_{2}}).
  • \dfrac{\partial y}{\partial x_{2}}=\dfrac{3 x_{1}}{2\sqrt{x_{2}}}: o quanto a produção aumenta por uma unidade adicional de x_{2}, mantendo x_{1} fixo. Essa produtividade aumenta com x_{1} e diminui com x_{2}.
Resposta compacta do item (a):
\frac{\partial y}{\partial x_{1}}=3\sqrt{x_{2}},\qquad \frac{\partial y}{\partial x_{2}}=\frac{3 x_{1}}{2\sqrt{x_{2}}}.

Passo 5

Derivação do diferencial total de primeira ordem (item b): conceito e fórmula.
  • Conceito: para pequenas variações \Delta x_{1} e \Delta x_{2}, a variação aproximada de y é dada pelo diferencial total de primeira ordem:
dy \approx \frac{\partial y}{\partial x_{1}}\,dx_{1} + \frac{\partial y}{\partial x_{2}}\,dx_{2}.
Isto é uma aproximação linear (primeira ordem) da função em torno de um ponto; é o mesmo que o plano tangente à superfície y(x_{1},x_{2}).
  • Substituindo as derivadas já calculadas obtemos a expressão específica:
dy \approx 3\sqrt{x_{2}}\,dx_{1} + \frac{3 x_{1}}{2\sqrt{x_{2}}}\,dx_{2}.
Explanação: dx_{1} e dx_{2} representam pequenas mudanças em x_{1} e x_{2}; o produto com as derivadas parciais dá as contribuições lineares à variação de y.

Passo 6

Aplicação numérica da fórmula do diferencial no ponto inicial dado (item c): cálculo passo a passo.
  • Ponto inicial: (x_{1},x_{2})=(5,4). Primeiro calcule \sqrt{x_{2}} em x_{2}=4:
\sqrt{4}=2.
  • Calcular as produtividades marginais no ponto:
\frac{\partial y}{\partial x_{1}}\Bigg|_{(5,4)} = 3\sqrt{4}=3\cdot 2=6.
\frac{\partial y}{\partial x_{2}}\Bigg|_{(5,4)} = \frac{3\cdot 5}{2\sqrt{4}}=\frac{15}{2\cdot 2}=\frac{15}{4}=3{,}75.
  • As variações dadas são \Delta x_{1}=+0{,}25 e \Delta x_{2}=-0{,}5. Para pequenas variações usamos dx_{1}\approx\Delta x_{1} e dx_{2}\approx\Delta x_{2}. Então:
dy \approx 6\cdot 0{,}25 + 3{,}75\cdot(-0{,}5).
Cálculo numérico:
6\cdot 0{,}25 = 1{,}5, \qquad 3{,}75\cdot(-0{,}5) = -1{,}875.
dy \approx 1{,}5 - 1{,}875 = -0{,}375.
Interpretação: a estimativa de primeira ordem indica que a produção diminui em aproximadamente 0{,}375 unidades (ou seja, -0{,}375) devido à combinação do pequeno aumento de x_{1} e da redução de x_{2}.

Passo 7

Verificação de homogeneidade e retornos de escala (item d): conceito, teste e interpretação.
  • Conceito: uma função f(x_{1},x_{2}) é homogênea de grau k se, para todo t>0,
f(t x_{1},t x_{2})=t^{k} f(x_{1},x_{2}).
O valor de k determina os retornos de escala:
  • k=1: retornos constantes de escala;
  • k>1: retornos crescentes de escala (output cresce mais que proporcional aos insumos);
  • k<1: retornos decrescentes de escala.
  • Aplicar o teste à função dada. Começar substituindo (t x_{1},t x_{2}) em y:
y(t x_{1},t x_{2})=3\,(t x_{1})\sqrt{t x_{2}}.
Separe os fatores:
=3\,t x_{1}\cdot \sqrt{t}\,\sqrt{x_{2}} = 3\,t\cdot t^{1/2} \, x_{1}\sqrt{x_{2}}.
= t^{3/2}\cdot 3 x_{1}\sqrt{x_{2}} = t^{3/2} y(x_{1},x_{2}).
  • Conclusão: a função é homogênea de grau k=\tfrac{3}{2}.
  • Interpretação de retornos de escala: como k=\tfrac{3}{2}>1, a tecnologia apresenta retornos crescentes de escala. Exemplificando: se dobrarmos ambos os insumos ( t=2), a produção é multiplicada por 2^{3/2}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828, que é mais que o dobro — portanto mais do que proporcional.

Passo 8

Resumo final e dica rápida para a prova.
  • O procedimento padrão para esse tipo de exercício:
    1. Calcular as derivadas parciais para obter as produtividades marginais.
    2. Montar o diferencial total dy usando essas derivadas para estimativas lineares de pequenas variações.
    3. Avaliar as derivadas no ponto pedido e substituir os \Delta x para obter o valor numérico.
    4. Testar homogeneidade substituindo (t x_{1},t x_{2}) e simplificando para ver o expoente t^{k}.
  • Dica prática: sempre simplify \sqrt{t x_{2}}=\sqrt{t}\sqrt{x_{2}} para identificar o expoente em t.

Resposta

(a) \dfrac{\partial y}{\partial x_{1}}=3\sqrt{x_{2}},\quad \dfrac{\partial y}{\partial x_{2}}=\dfrac{3 x_{1}}{2\sqrt{x_{2}}}
(b) dy \approx 3\sqrt{x_{2}}\,dx_{1} + \dfrac{3 x_{1}}{2\sqrt{x_{2}}}\,dx_{2}
(c) \Delta y \approx -0{,}375
(d) Sim. A função é homogênea de grau k=\tfrac{3}{2}. Logo apresenta retornos crescentes de escala (como k>1).

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