Considere uma firma uniproduto cuja tecnologia é descrita pela seguinte função de produção y=3 x_{1} \sqrt{x_{2}}, sendo y a quantidade produzida em um dado período de produção utilizando x_{1} do insumo 1 e x_{2} do insumo 2 . Com base em tal função de produção, pede-se:
(a) As produtividades marginais.
(b) Uma estimativa da variação da produção para quaisquer pequenas variações de x_{1} e x_{2}, utilizando o diferencial total de primeira ordem.
(c) Se a firma estiver usando inicialmente a combinação de insumos (5,4), qual será a variação estimada da produção se a quantidade do insumo 1 aumentar 0,25 e a quantidade do insumo 2 diminuir 0,5 ?
(d) A função de produção é homogênea? Em caso afirmativo, de que grau? A tecnologia representada pela função de produção acima apresenta que tipo de retornos de escala?
Passo 1
O enunciado dá a função de produção e pede quatro coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Função de produção dada: y=3 x_{1}\sqrt{x_{2}}.
Variáveis: x_{1} e x_{2} são as quantidades dos insumos 1 e 2, e y é a quantidade produzida.
Pede-se:
(a) calcular as produtividades marginais (ou seja, as derivadas parciais de y em relação a x_{1} e a x_{2});
(b) escrever uma estimativa da variação da produção para pequenas variações de x_{1} e x_{2} usando o diferencial total de primeira ordem;
(c) avaliar essa estimativa quando a combinação inicial é (x_{1},x_{2})=(5,4) e as variações são \Delta x_{1}=+0{,}25 e \Delta x_{2}=-0{,}5;
(d) verificar se a função é homogênea; em caso afirmativo, achar o grau e dizer que tipo de retornos de escala isso implica.
Passo 2
Conceito e cálculo da produtividade marginal em relação a x_{1}.
Conceito: a produtividade marginal do insumo x_{1}, denotada por \text{PM}_{1} ou \dfrac{\partial y}{\partial x_{1}}, é a taxa de variação de y quando só x_{1} varia infinitesimalmente e x_{2} é mantido fixo.
Regra prática: calcular a derivada parcial de y em relação a x_{1} tratando x_{2} como constante.
Cálculo passo a passo:
y=3 x_{1}\sqrt{x_{2}}.
Aqui \sqrt{x_{2}} é uma constante ao derivar em relação a x_{1}. Então
\frac{\partial y}{\partial x_{1}}=3\sqrt{x_{2}}.
Explanação: multiplicar por x_{1} tem derivada 1; sobra o coeficiente 3\sqrt{x_{2}}.
Passo 3
Conceito e cálculo da produtividade marginal em relação a x_{2}.
Conceito: a produtividade marginal do insumo x_{2}, \text{PM}_{2}=\dfrac{\partial y}{\partial x_{2}}, é a taxa de variação de y quando só x_{2} varia infinitesimalmente e x_{1} é mantido fixo.
Regra prática: derivar em relação a x_{2}, agora x_{1} é tratado como constante. Usar a derivada de \sqrt{x_{2}}, que é \dfrac{1}{2\sqrt{x_{2}}}.
Explanação: aplicou-se a regra de potência \dfrac{d}{dx}(x^{1/2})=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}, multiplicando pelo fator constante 3x_{1}.
Passo 4
Interpretação econômica rápida das produtividades marginais e forma compacta das respostas do item (a).
\dfrac{\partial y}{\partial x_{1}}=3\sqrt{x_{2}}: o quanto a produção aumenta por uma unidade adicional de x_{1}, mantendo x_{2} fixo. Note que essa produtividade não depende de x_{1} (é independente de x_{1}) e aumenta com x_{2} (porque aparece \sqrt{x_{2}}).
\dfrac{\partial y}{\partial x_{2}}=\dfrac{3 x_{1}}{2\sqrt{x_{2}}}: o quanto a produção aumenta por uma unidade adicional de x_{2}, mantendo x_{1} fixo. Essa produtividade aumenta com x_{1} e diminui com x_{2}.
Derivação do diferencial total de primeira ordem (item b): conceito e fórmula.
Conceito: para pequenas variações \Delta x_{1} e \Delta x_{2}, a variação aproximada de y é dada pelo diferencial total de primeira ordem:
dy \approx \frac{\partial y}{\partial x_{1}}\,dx_{1} + \frac{\partial y}{\partial x_{2}}\,dx_{2}.
Isto é uma aproximação linear (primeira ordem) da função em torno de um ponto; é o mesmo que o plano tangente à superfície y(x_{1},x_{2}).
Substituindo as derivadas já calculadas obtemos a expressão específica:
dy \approx 3\sqrt{x_{2}}\,dx_{1} + \frac{3 x_{1}}{2\sqrt{x_{2}}}\,dx_{2}.
Explanação: dx_{1} e dx_{2} representam pequenas mudanças em x_{1} e x_{2}; o produto com as derivadas parciais dá as contribuições lineares à variação de y.
Passo 6
Aplicação numérica da fórmula do diferencial no ponto inicial dado (item c): cálculo passo a passo.
Ponto inicial: (x_{1},x_{2})=(5,4). Primeiro calcule \sqrt{x_{2}} em x_{2}=4:
As variações dadas são \Delta x_{1}=+0{,}25 e \Delta x_{2}=-0{,}5. Para pequenas variações usamos dx_{1}\approx\Delta x_{1} e dx_{2}\approx\Delta x_{2}. Então:
Interpretação: a estimativa de primeira ordem indica que a produção diminui em aproximadamente 0{,}375 unidades (ou seja, -0{,}375) devido à combinação do pequeno aumento de x_{1} e da redução de x_{2}.
Passo 7
Verificação de homogeneidade e retornos de escala (item d): conceito, teste e interpretação.
Conceito: uma função f(x_{1},x_{2}) é homogênea de grau k se, para todo t>0,
f(t x_{1},t x_{2})=t^{k} f(x_{1},x_{2}).
O valor de k determina os retornos de escala:
k=1: retornos constantes de escala;
k>1: retornos crescentes de escala (output cresce mais que proporcional aos insumos);
k<1: retornos decrescentes de escala.
Aplicar o teste à função dada. Começar substituindo (t x_{1},t x_{2}) em y:
Conclusão: a função é homogênea de grau k=\tfrac{3}{2}.
Interpretação de retornos de escala: como k=\tfrac{3}{2}>1, a tecnologia apresenta retornos crescentes de escala. Exemplificando: se dobrarmos ambos os insumos (t=2), a produção é multiplicada por 2^{3/2}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828, que é mais que o dobro — portanto mais do que proporcional.
Passo 8
Resumo final e dica rápida para a prova.
O procedimento padrão para esse tipo de exercício:
Calcular as derivadas parciais para obter as produtividades marginais.
Montar o diferencial total dy usando essas derivadas para estimativas lineares de pequenas variações.
Avaliar as derivadas no ponto pedido e substituir os \Delta x para obter o valor numérico.
Testar homogeneidade substituindo (t x_{1},t x_{2}) e simplificando para ver o expoente t^{k}.
Dica prática: sempre simplify \sqrt{t x_{2}}=\sqrt{t}\sqrt{x_{2}} para identificar o expoente em t.