Considere a função z=z(x, y) definida implicitamente pela equação
y z+x \ln y=z^{2}
a) Use derivação implícita para encontrar \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y}.
b) Calcule os valores de \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} no ponto (x, y, z)=(2,1,2).
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
y z + x \ln y = z^{2},
onde z depende de x e y (isto é, z=z(x,y)). Pede-se:
(b) avaliar esses dois parciais no ponto (x,y,z)=(2,1,2).
Informações importantes fornecidas:
A relação entre x,y,z é aquela equação acima.
O ponto para avaliação é (2,1,2).
Observação útil: \ln y exige y>0; no ponto dado y=1 isso é válido.
Passo 2
O que é derivação implícita e o que vamos fazer (passo didático curto e prático).
Quando z=z(x,y) está definida implicitamente, as derivadas parciais são obtidas diferenciando a equação que relaciona x,y,z e aplicando a regra da cadeia para termos que dependem de z.
Regras que usarei:
Regra do produto: se u e v dependem da variável diferenciada, \dfrac{d}{dx}(uv)=u'\,v+u\,v'.
Regra da cadeia: ao derivar z^2 em relação a x (ou y), usa-se \dfrac{d}{dx}z^{2}=2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} (ou com \partial z/\partial y).
Para \dfrac{\partial z}{\partial x} trata-se de derivar mantendo y constante.
Para \dfrac{\partial z}{\partial y} trata-se de derivar mantendo x constante.
Passo 3
Derivação em relação a x (manter y constante) — cálculo passo a passo.
Partimos de
y z + x \ln y = z^{2}.
Derivando termo a termo em relação a x, com y constante:
\dfrac{\partial}{\partial x}(y z)=y\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} porque y é constante.
\dfrac{\partial}{\partial x}(x \ln y)=1\cdot \ln y porque \ln y é constante ao derivar em x.
\dfrac{\partial}{\partial x}(z^{2})=2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} pela regra da cadeia.
Comentário sobre existência: para que as expressões acima façam sentido e para que localmente z seja função de (x,y) pela teoria da função implícita, é necessário y-2z\neq 0 (ou seja, 2z-y\neq 0). Também y>0 para \ln y estar bem definido.
Passo 5
Derivação em relação a y (manter x constante) — cálculo passo a passo.
Partimos de novo de
y z + x \ln y = z^{2}.
Derivando em relação a y, com x constante:
\dfrac{\partial}{\partial y}(y z): aqui é produto entre y e z(y). Aplica-se a regra do produto:
derivada de y é 1, então contribui 1\cdot z = z;
mais y vezes a derivada de z em relação a y, isto é y\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Logo \dfrac{\partial}{\partial y}(y z) = z + y\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y}.
\dfrac{\partial}{\partial y}(x \ln y)=x\cdot \dfrac{1}{y} porque x é constante.
\dfrac{\partial}{\partial y}(z^{2})=2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} pela regra da cadeia.