Considere a função z=z(x, y) definida implicitamente pela equação
y z+x \ln y=z^{2}
a) Use derivação implícita para encontrar \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y}.
b) Calcule os valores de \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} no ponto (x, y, z)=(2,1,2).

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
y z + x \ln y = z^{2},
onde z depende de x e y (isto é, z=z(x,y)). Pede-se:
  • (a) encontrar \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} usando diferenciação implícita;
  • (b) avaliar esses dois parciais no ponto (x,y,z)=(2,1,2).
Informações importantes fornecidas:
  • A relação entre x,y,z é aquela equação acima.
  • O ponto para avaliação é (2,1,2).
  • Observação útil: \ln y exige y>0; no ponto dado y=1 isso é válido.

Passo 2

O que é derivação implícita e o que vamos fazer (passo didático curto e prático).
  • Quando z=z(x,y) está definida implicitamente, as derivadas parciais são obtidas diferenciando a equação que relaciona x,y,z e aplicando a regra da cadeia para termos que dependem de z.
  • Regras que usarei:
    • Regra do produto: se u e v dependem da variável diferenciada, \dfrac{d}{dx}(uv)=u'\,v+u\,v'.
    • Regra da cadeia: ao derivar z^2 em relação a x (ou y), usa-se \dfrac{d}{dx}z^{2}=2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} (ou com \partial z/\partial y).
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial x} trata-se de derivar mantendo y constante.
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial y} trata-se de derivar mantendo x constante.

Passo 3

Derivação em relação a x (manter y constante) — cálculo passo a passo.
Partimos de
y z + x \ln y = z^{2}.
Derivando termo a termo em relação a x, com y constante:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(y z)=y\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} porque y é constante.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x \ln y)=1\cdot \ln y porque \ln y é constante ao derivar em x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(z^{2})=2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} pela regra da cadeia.
Portanto obtemos a igualdade
y\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} + \ln y = 2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x}.
Agrupando os termos com \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\bigl(y-2z\bigr)\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\ln y.
Isolando \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{-\ln y}{\,y-2z\,}.
Uma forma equivalente, trocando sinal no numerador e denominador, é
\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\ln y}{\,2z-y\,}.

Passo 4

Comentário sobre existência: para que as expressões acima façam sentido e para que localmente z seja função de (x,y) pela teoria da função implícita, é necessário y-2z\neq 0 (ou seja, 2z-y\neq 0). Também y>0 para \ln y estar bem definido.

Passo 5

Derivação em relação a y (manter x constante) — cálculo passo a passo.
Partimos de novo de
y z + x \ln y = z^{2}.
Derivando em relação a y, com x constante:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y z): aqui é produto entre y e z(y). Aplica-se a regra do produto:
    • derivada de y é 1, então contribui 1\cdot z = z;
    • mais y vezes a derivada de z em relação a y, isto é y\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y}.
      Logo \dfrac{\partial}{\partial y}(y z) = z + y\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x \ln y)=x\cdot \dfrac{1}{y} porque x é constante.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(z^{2})=2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} pela regra da cadeia.
Assim obtemos
z + y\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} + \dfrac{x}{y} = 2z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Agrupando os termos com \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\bigl(y-2z\bigr)\dfrac{\partial z}{\partial y} = -z - \dfrac{x}{y}.
Isolando \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\dfrac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{-z - \dfrac{x}{y}}{\,y-2z\,}.
Forma equivalente, trocando sinal:
\dfrac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{\,z + \dfrac{x}{y}\,}{\,2z-y\,}.

Passo 6

Avaliação das derivadas no ponto (x,y,z)=(2,1,2).
Primeiro verifiquemos quantidades necessárias:
  • \ln y = \ln 1 = 0.
  • y-2z = 1 - 2\cdot 2 = 1-4 = -3 (não nulo, bom).
    Agora as derivadas:
  • Pela fórmula \dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\ln y}{2z-y} temos \left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(2,1,2)} = \dfrac{\ln 1}{2\cdot 2 - 1} = \dfrac{0}{3} = 0.
  • Pela fórmula \dfrac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{z + \dfrac{x}{y}}{2z-y} temos \left.\dfrac{\partial z}{\partial y}\right|_{(2,1,2)} = \dfrac{2 + \dfrac{2}{1}}{2\cdot 2 - 1} = \dfrac{2+2}{4-1} = \dfrac{4}{3}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\ln y}{2z-y},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\,z+\dfrac{x}{y}\,}{2z-y}
b) \displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(2,1,2)}=0,\quad \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(2,1,2)}=\frac{4}{3}

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