Considere a função
Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as segundas derivadas parciais
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
está dada (já listada acima). - Não há condições adicionais (domínio, restrições); presume-se que
é suficientemente suave para trocar ordem de diferenciação.
Passo 2
Lembrete prático do que são derivadas parciais (passo-a-passo didático):
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a derivada usual em mantendo fixo (ou seja, tratar como constante). - A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a derivada usual em mantendo fixo. - Para derivar monômios do tipo
: - Para
trate como constante e aplique a regra da potência: . - Para
trate como constante e aplique a regra da potência para .
- Para
- Segundas derivadas parciais são obtidas aplicando novamente a diferenciação parcial:
-
. -
. - Mista
(ou ; para funções suaves as duas dão o mesmo resultado).
-
Passo 3
Calcular as primeiras derivadas parciais (etapa intermediária necessária).
- Derivada parcial de
em relação a : - Para o termo
: é constante, então . - Para o termo
: é constante, então . - Para o termo
: é constante em relação a , então deriva 0. - Logo,
- Para o termo
- Derivada parcial de
em relação a : - Para o termo
: é constante, então . - Para o termo
: é constante, então . - Para o termo
: . - Logo,
- Para o termo
Passo 4
Calcular a segunda derivada parcial
.
- Partimos de
. - Diferenciando em relação a
(mantendo constante): -
(porque e é constante). -
.
-
- Portanto,
Passo 5
Calcular a segunda derivada parcial
.
- Partimos de
. - Diferenciando em relação a
(mantendo constante): -
. -
. -
.
-
- Portanto,
Passo 6
Calcular a derivada mista
.
- Método 1: partir de
e derivar em relação a : -
. -
. - Assim obtém-se
.
-
- Método 2 (verificação): partir de
e derivar em relação a : -
. -
. -
. - Resultado:
, igual ao anterior (coerente com a igualdade das derivadas mistas para funções suaves).
-