Considere a função
f(x, y)=x^{3} y^{2}-4 x y+y^{3}
Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} e \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}y^{2}-4xy+y^{3}
e pede para calcular as segundas derivadas parciais
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita f(x,y) está dada (já listada acima).
  • Não há condições adicionais (domínio, restrições); presume-se que f é suficientemente suave para trocar ordem de diferenciação.

Passo 2

Lembrete prático do que são derivadas parciais (passo-a-passo didático):
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a derivada usual em x mantendo y fixo (ou seja, tratar y como constante).
  • A derivada parcial de f em relação a y, denotada \dfrac{\partial f}{\partial y}, é a derivada usual em y mantendo x fixo.
  • Para derivar monômios do tipo x^{m}y^{n}:
    • Para \dfrac{\partial}{\partial x} trate y^{n} como constante e aplique a regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1}.
    • Para \dfrac{\partial}{\partial y} trate x^{m} como constante e aplique a regra da potência para y.
  • Segundas derivadas parciais são obtidas aplicando novamente a diferenciação parcial:
    • \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right).
    • \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
    • Mista \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) (ou \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right); para funções suaves as duas dão o mesmo resultado).

Passo 3

Calcular as primeiras derivadas parciais (etapa intermediária necessária).
  • Derivada parcial de f em relação a x:
    • Para o termo x^{3}y^{2}: y^{2} é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=3x^{2}y^{2}.
    • Para o termo -4xy: y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(-4xy\bigr)=-4y.
    • Para o termo y^{3}: é constante em relação a x, então deriva 0.
    • Logo,
    \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}-4y.
  • Derivada parcial de f em relação a y:
    • Para o termo x^{3}y^{2}: x^{3} é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=2x^{3}y.
    • Para o termo -4xy: x é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(-4xy\bigr)=-4x.
    • Para o termo y^{3}: \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}.
    • Logo,
    \frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y-4x+3y^{2}.

Passo 4

Calcular a segunda derivada parcial \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}.
  • Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}-4y.
  • Diferenciando em relação a x (mantendo y constante):
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)=6x y^{2} (porque 3\cdot 2=6 e y^{2} é constante).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-4y)=0.
  • Portanto,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6x y^{2}.

Passo 5

Calcular a segunda derivada parcial \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.
  • Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y-4x+3y^{2}.
  • Diferenciando em relação a y (mantendo x constante):
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{3}y\bigr)=2x^{3}.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-4x)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(3y^{2})=6y.
  • Portanto,
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2x^{3}+6y.

Passo 6

Calcular a derivada mista \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • Método 1: partir de \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}-4y e derivar em relação a y:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)=6x^{2}y.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-4y)=-4.
    • Assim obtém-se \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=6x^{2}y-4.
  • Método 2 (verificação): partir de \dfrac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y-4x+3y^{2} e derivar em relação a x:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{3}y\bigr)=6x^{2}y.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-4x)=-4.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(3y^{2})=0.
    • Resultado: \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=6x^{2}y-4, igual ao anterior (coerente com a igualdade das derivadas mistas para funções suaves).

Resposta

\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6x y^{2}
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2x^{3}+6y
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=6x^{2}y-4

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