Considere as funções f e g com domínio e contradomínio em R. Ambas são diferenciáveis em todo o domínio. Os gráficos de f e g se intersectam perpendicularmente no ponto -1,3. A reta tangente ao gráfico de f nesse ponto tem equação:
y = 3 + 1/2 (x + 1)
Quanto vale g'(-1) ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente tem duas funções, e , que são diferenciáveis em todo lugar nos números reais. Os gráficos delas se cruzam no ponto de forma que as retas tangentes nesse ponto são perpendiculares. Já sabemos a equação da reta tangente de nesse ponto:
Então, precisamos descobrir qual é a derivada de em , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente no gráfico dessa função nesse ponto. Na equação da reta tangente de , o coeficiente de é , então:
Isso significa que a inclinação da reta tangente de no ponto é .

Passo 3

Agora, como os gráficos de e se cruzam perpendicularmente nesse ponto, as retas tangentes também são perpendiculares. Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for igual a . Ou seja:

Passo 4

Já sabemos que . Vamos substituir na equação:
Agora, é só resolver para .

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da equação por para isolar :

Resposta

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