Considere as funções:
f(x)=x^{2}-5 x+4, quad g(x)=\frac{1}{x^{2}}, quad h(x)=\sqrt{x}
Calcule f^{\prime}(x) usando a definição de derivada.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f usando a definição de derivada. As informações dadas são:
f(x)=x^{2}-5x+4.
O objetivo explícito: encontrar f'(x) usando a definição (limite do quociente incremental). Não vamos resolver ainda, apenas identificamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada (essa é a ferramenta que vamos aplicar):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando de leve: o numerador mede a variação de f quando x aumenta em h; dividimos por h para obter a taxa média de variação e então fazemos h\to0 para a taxa instantânea.

Passo 3

Calculemos f(x+h). Substituindo x+h na função:
f(x+h)=(x+h)^{2}-5(x+h)+4.
Agora expandimos cada termo:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
-5(x+h)=-5x-5h.
Somando tudo:
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+4.

Passo 4

Formamos o quociente incremental \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Primeiro o numerador:
f(x+h)-f(x)=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+4\bigr)-\bigl(x^{2}-5x+4\bigr).
Agora simplificamos: x^{2} cancela com -x^{2}, -5x cancela com +5x, +4 cancela com -4. Sobra
f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-5h.
Colocando fator comum h:
f(x+h)-f(x)=h(2x+h-5).
Dividindo por h (para h\neq0) obtemos o quociente:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h-5.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}\bigl(2x+h-5\bigr).
Como 2x-5 é uma expressão que não depende de h e h\to0 é contínuo, podemos substituir h=0:
f'(x)=2x-5.
Explicando o porquê: limites de somas são somas dos limites, e \lim_{h\to0}h=0.

Passo 6

Resumo e checagem rápida (opcional): usando a definição chegamos a f'(x)=2x-5. Como verificação rápida, pela regra de derivação de potências e da linearidade: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x, \dfrac{d}{dx}(-5x)=-5, \dfrac{d}{dx}(4)=0; somando dá 2x-5, o que confirma nosso resultado.

Resposta

f'(x)=2x-5

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