Considere as funções:
Calcule
usando a definição de derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
usando a definição de derivada. As informações dadas são:
O objetivo explícito: encontrar
usando a definição (limite do quociente incremental). Não vamos resolver ainda, apenas identificamos o que é pedido e os dados.
Passo 2
Escrevemos a definição de derivada (essa é a ferramenta que vamos aplicar):
Explicando de leve: o numerador mede a variação de
quando
aumenta em
; dividimos por
para obter a taxa média de variação e então fazemos
para a taxa instantânea.
Passo 3
Calculemos
. Substituindo
na função:
Agora expandimos cada termo:
Somando tudo:
Passo 4
Formamos o quociente incremental
. Primeiro o numerador:
Agora simplificamos:
cancela com
,
cancela com
,
cancela com
. Sobra
Colocando fator comum
:
Dividindo por
(para
) obtemos o quociente:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Como
é uma expressão que não depende de
e
é contínuo, podemos substituir
:
Explicando o porquê: limites de somas são somas dos limites, e
.
Passo 6
Resumo e checagem rápida (opcional): usando a definição chegamos a
. Como verificação rápida, pela regra de derivação de potências e da linearidade:
,
,
; somando dá
, o que confirma nosso resultado.