Considere as funções:
Calcule
e
aplicando as regras básicas.
Passo 1
O enunciado dá as três funções
e pede para calcular
e
aplicando as regras básicas.
Informações relevantes: a forma explícita de e
e que devemos usar regras elementares de diferenciação. Não precisamos usar
para nada aqui.
Informações relevantes: a forma explícita de
Passo 2
Regra básica que vamos usar: a regra do expoente (power rule). Ela diz o seguinte:
onde
é uma constante real e
é a variável. Explicando devagar: pegar a derivada de
significa multiplicar por
e diminuir o expoente em
. Exemplo rápido para fixar: aplicando a regra em
temos
.
Também usamos a observação prática: se uma função está escrita como uma fração com potência, dá para reescrevê-la como potência com expoente negativo. Por exemplo,
. Isso facilita aplicar a regra do expoente.
Passo 3
Vamos calcular
. Primeiro reescrevo
como potência:
Agora aplico a regra do expoente com
:
Simplificando a notação de potência negativa para fração:
Observação sobre domínio: como
não existe em
, a derivada também só faz sentido para
.
Passo 4
Agora
. Reescrevo como potência com expoente fracionário:
Aplico a regra do expoente com
:
Volto para a forma com raiz:
Observação sobre domínio: a função
está definida para
, mas a derivada
exige
, logo a expressão vale para
. Em
a derivada não existe (o quociente incremental tende a
).
Passo 5
Resumo didático curto para memorização: sempre que vir uma raiz, transforme em potência fracionária
e aplique a regra do expoente; sempre que vir
escreva
e aplique a mesma regra. Não esqueça de verificar o domínio (normalmente pontos onde o denominador vira zero ou onde a raiz não é permitida precisam ser excluídos).