Considere as funções:
f(x)=x^{2}-5 x+4, quad g(x)=\frac{1}{x^{2}}, quad h(x)=\sqrt{x}
Calcule g^{\prime}(x) e h^{\prime}(x) aplicando as regras básicas.

Passo 1

O enunciado dá as três funções
f(x)=x^{2}-5x+4,\quad g(x)=\frac{1}{x^{2}},\quad h(x)=\sqrt{x}
e pede para calcular g^{\prime}(x) e h^{\prime}(x) aplicando as regras básicas.
Informações relevantes: a forma explícita de g e h e que devemos usar regras elementares de diferenciação. Não precisamos usar f para nada aqui.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a regra do expoente (power rule). Ela diz o seguinte:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
onde n é uma constante real e x é a variável. Explicando devagar: pegar a derivada de x^{n} significa multiplicar por n e diminuir o expoente em 1. Exemplo rápido para fixar: aplicando a regra em x^{3} temos \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
Também usamos a observação prática: se uma função está escrita como uma fração com potência, dá para reescrevê-la como potência com expoente negativo. Por exemplo, \dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}. Isso facilita aplicar a regra do expoente.

Passo 3

Vamos calcular g^{\prime}(x). Primeiro reescrevo g como potência:
g(x)=\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
Agora aplico a regra do expoente com n=-2:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr) = (-2)\,x^{-2-1}=(-2)\,x^{-3}.
Simplificando a notação de potência negativa para fração:
g'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}.
Observação sobre domínio: como g não existe em x=0, a derivada também só faz sentido para x\neq 0.

Passo 4

Agora h(x)=\sqrt{x}. Reescrevo como potência com expoente fracionário:
h(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
Aplico a regra do expoente com n=\tfrac{1}{2}:
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}\,x^{1/2-1}=\frac{1}{2}\,x^{-1/2}.
Volto para a forma com raiz:
h'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação sobre domínio: a função \sqrt{x} está definida para x\ge 0, mas a derivada \dfrac{1}{2\sqrt{x}} exige \sqrt{x}\neq 0, logo a expressão vale para x>0. Em x=0 a derivada não existe (o quociente incremental tende a +\infty).

Passo 5

Resumo didático curto para memorização: sempre que vir uma raiz, transforme em potência fracionária x^{1/2} e aplique a regra do expoente; sempre que vir 1/x^{n} escreva x^{-n} e aplique a mesma regra. Não esqueça de verificar o domínio (normalmente pontos onde o denominador vira zero ou onde a raiz não é permitida precisam ser excluídos).

Resposta

g'(x)=-\dfrac{2}{x^{3}},\; x\neq 0
h'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}},\; x>0

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