Considere as funções vetoriais u(t)=(sin t, cos t, t2) e v(t)=(cos t, sin t, 1)
(d) lim t 0 u(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrarmos o limite da função vetorial quando se aproxima de 0. Aqui, estamos trabalhando com funções vetoriais e vamos precisar usar conceitos de limites aplicados a cada componente da função.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que o limite de uma função vetorial é calculado tomando o limite de cada uma das suas componentes individualmente. Ou seja, se a função vetorial é limt to 0 u(t) = ( limt to 0 u1(t), limt to 0 u2(t), limt to 0 u3(t) ) , então:

Passo 3

Vamos calcular o limite da primeira componente, que é limt to 0 sin t = 0 . Sabemos que:
Isso porque, quando está muito próximo de 0, o seno de também fica próximo de 0.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente, limt to 0 cos t = 1 . O limite é:
Isso acontece porque o cosseno de 0 é exatamente 1.

Passo 5

Por fim, temos a terceira componente, limt to 0 t2 = 02 = 0 . O limite aqui é bem direto:
Quando tende a 0, qualquer múltiplo de também tende a 0.

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial limt to 0 u(t) = ( 0, 1, 0 ) quando se aproxima de 0 é:

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