Considere as funções vetoriais u(t) = (sen t, cos t, t/2) e v(t) = (cos t, sen t, 1)
(e) Determine a equação da reta tangente à trajetória a função u(t), no ponto t = pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos a equação da reta tangente à trajetória da função vetorial no ponto onde . Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com curvas parametrizadas e suas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o ponto na curva correspondente a e a direção da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando . Basta substituir esse valor na função :
Sabemos que e , então:
Esse é o ponto de tangência na curva.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dará a velocidade ou o vetor tangente à curva em qualquer ponto . Derivando cada componente de :

Passo 4

Vamos calcular para obter a direção da reta tangente no ponto de interesse:
Esse vetor será a direção da nossa reta tangente.

Passo 5

Com o ponto de tangência e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral é:
Onde é o ponto de tangência e é o vetor direção. Substituindo:
Isso nos dá as equações paramétricas da reta tangente.

Resposta

A equação da reta tangente à trajetória de no ponto é:
Onde é o parâmetro real.

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