Considere um gás composto por N partículas ultrarrelativísticas (de forma que sua energia \varepsilon possa ser escrita como \varepsilon=c p, onde p é o seu momento linear) confinado em um recipiente de volume V e a temperatura T. Suponha que as partículas sejam indistinguíveis e não interagentes e que a sua energia térmica seja suficientemente alta para desprezar efeitos quânticos.
a) Mostre que a função de partição do gás é Z=\left[\frac{8 \pi V}{h c}\right]^{N} \frac{\left(k_{B} T\right)^{3 N}}{N!}
b) Determine a pressão do gás.
c) Calcule a entropia do gás.
d) Determine a energia interna do gás.
a) Z=\frac{1}{N!} \int \ldots \int \exp \left(-\beta \sum_{i} c p_{i}\right) \frac{d^{3} r_{1} \ldots d^{3} r_{N} d^{3} p_{1} \ldots d^{3} p_{N}}{h^{3 N}}
b) p=\frac{N k_{B} T}{V}
c) S=N k_{B}\left[\ln \left(\frac{8 \pi V k_{B} T}{N h c}\right)+4\right]
d) U=3 N k_{B} T

Passo 1

O enunciado considera um gás ideal ultrarrelativístico de N partículas (energia de cada partícula \varepsilon = c\,p), confinado em volume V à temperatura T, em que podemos tratar as partículas como clássicas, indistinguíveis e não interagentes. Precisamos calcular a função de partição canônica Z, a pressão p, a entropia S e a energia interna U.

Passo 2

A função de partição canônica é
Z \;=\;\frac{1}{N!\,h^{3N}} \int\!\exp\bigl(-\beta\,\sum_{i=1}^N c\,p_i\bigr)\, \prod_{i=1}^N d^3r_i\,d^3p_i
com \beta=1/(k_B T).
Como os integrais se separam, a parte espacial dá \int \prod_i d^3r_i = V^N e cada integral de momento é
\int d^3p\,e^{-\beta c\,p} =4\pi\int_{0}^{\infty}p^2 e^{-\beta c\,p}\,dp =4\pi\;\frac{2}{(\beta c)^3} =\frac{8\pi}{(\beta c)^3}.
Logo
Z =\frac{1}{N!}\Bigl(\frac{V}{h^3}\Bigr)^N \Bigl(\frac{8\pi}{(\beta c)^3}\Bigr)^N =\frac{1}{N!}\Bigl[\frac{8\pi V}{h^3(\beta c)^3}\Bigr]^N =\frac{1}{N!}\Bigl[\frac{8\pi V(k_B T)^3}{(h c)^3}\Bigr]^N.
Reagrupando, obtemos exatamente
Z =\left[\frac{8\pi V}{h c}\right]^N \frac{(k_B T)^{3N}}{N!}.

Passo 3

A pressão sai de
F=-k_B T\ln Z, \qquad p=-\Bigl(\frac{\partial F}{\partial V}\Bigr)_{T,N} =k_B T\Bigl(\frac{\partial \ln Z}{\partial V}\Bigr)_{T,N} =\frac{N\,k_B T}{V}.

Passo 4

A entropia pode ser obtida por
S=-\Bigl(\frac{\partial F}{\partial T}\Bigr)_{V,N} =k_B\ln Z + k_B T\Bigl(\frac{\partial \ln Z}{\partial T}\Bigr)_{V,N}.
Como \ln Z = N\ln\bigl(8\pi V/(h c)\bigr)+3N\ln(k_B T)-\ln N!,
temos \partial_T\ln Z=3N/T. Portanto
S =k_B\bigl[N\ln\!\tfrac{8\pi V}{h c}+3N\ln(k_B T)-\ln N!\bigr] +3N k_B
e, usando Stirling \ln N!\approx N\ln N - N, chega-se a
S =N k_B\Bigl[\ln\!\frac{8\pi V\,(k_B T)^3}{h c\,N}+4\Bigr].

Passo 5

A energia interna vem de
U=-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} =-\frac{\partial}{\partial \beta}\bigl(3N\ln(k_B T)+\cdots\bigr) =3N/\beta =3N\,k_B T.

Resposta

a) \displaystyle Z=\left[\frac{8\pi V}{h c}\right]^N\frac{(k_{B}T)^{3N}}{N!}
b) \displaystyle p=\frac{N\,k_{B}T}{V}
c) \displaystyle S=N\,k_{B}\Bigl[\ln\!\frac{8\pi V\,(k_{B}T)^3}{h c\,N}+4\Bigr]
d) \displaystyle U=3\,N\,k_{B}T

Exercícios relacionados