Considere um gás composto por
partículas ultrarrelativísticas (de forma que sua energia
possa ser escrita como
, onde
é o seu momento linear) confinado em um recipiente de volume
e a temperatura
. Suponha que as partículas sejam indistinguíveis e não interagentes e que a sua energia térmica seja suficientemente alta para desprezar efeitos quânticos.
a) Mostre que a função de partição do gás é
b) Determine a pressão do gás.
c) Calcule a entropia do gás.
d) Determine a energia interna do gás.
a)
b)
c)
d)
a) Mostre que a função de partição do gás é
b) Determine a pressão do gás.
c) Calcule a entropia do gás.
d) Determine a energia interna do gás.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado considera um gás ideal ultrarrelativístico de
partículas (energia de cada partícula
), confinado em volume
à temperatura
, em que podemos tratar as partículas como clássicas, indistinguíveis e não interagentes. Precisamos calcular a função de partição canônica
, a pressão
, a entropia
e a energia interna
.
Passo 2
A função de partição canônica é
com
.
Como os integrais se separam, a parte espacial dá e cada integral de momento é
Como os integrais se separam, a parte espacial dá
Logo
Reagrupando, obtemos exatamente
Passo 3
A pressão sai de
Passo 4
A entropia pode ser obtida por
Como
,
temos . Portanto
temos
e, usando Stirling
, chega-se a
Passo 5
A energia interna vem de
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)