Considere um gás monoatômico clássico constituído por N átomos não interagentes de massa m confinados num recipiente de volume V, à temperatura T. A hamiltoniana correspondente a um átomo é dada por H=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right).
a) Mostre que a função de partição canônica atômica é \varsigma=\frac{V}{\lambda^{3}}, onde \lambda=\frac{h}{\sqrt{2 \pi m k_{B} T}} é o comprimento de onda térmico de de Broglie.
b) Utilizando \varsigma do item anterior, obtenha a função de partição Z do sistema e a energia livre de Helmholtz F. Obtenha, também, a energia livre por átomo f=F / N no limite termodinâmico.
c) Obtenha a energia interna U e a pressão p do gás.
d) Calcule a entropia por átomo no limite termodinâmico.
a) \varsigma=\int e^{-\beta H} \frac{d^{3} r d^{3} p}{h^{3}}=V\left(\frac{2 \pi m k_{B} T}{h^{2}}\right)^{3 / 2}=\frac{V}{\lambda^{3}}
b) Z=\frac{\varsigma^{N}}{N!}, F=-N k_{B} T\left[\ln \left(\frac{V}{N \lambda^{3}}\right)+1\right]
c) U=\frac{3}{2} N k_{B} T, p=\frac{N k_{B} T}{V}
d) s=k_{B}\left[\ln \left(\frac{V}{N \lambda^{3}}\right)+\frac{5}{2}\right]

Passo 1

O enunciado trata de um gás monoatômico clássico com N átomos não interagentes de massa m num volume V à temperatura T, cuja hamiltoniana de um átomo é
H=\frac{1}{2m}\bigl(p_x^2+p_y^2+p_z^2\bigr).
Pede-se:
a) a função de partição atômica \varsigma;
b) a função de partição total Z, a energia livre de Helmholtz F e a energia livre por átomo f no limite termodinâmico;
c) a energia interna U e a pressão p;
d) a entropia por átomo s no limite termodinâmico.
Conteúdo usado: mecânica estatística no ensemble canônico, integral de fase e aproximação de Stirling.

Passo 2

A função de partição atômica é
\varsigma=\frac{1}{h^3}\int e^{-\beta H}\,d^3r\,d^3p,
onde \beta=1/(k_B T). A integral sobre coordenadas dá V e a integral sobre momentos é
\int e^{-\beta p^2/(2m)}\,d^3p =(2\pi m/\beta)^{3/2}=(2\pi m k_B T)^{3/2}.
Logo
\varsigma=\frac{V}{h^3}(2\pi m k_B T)^{3/2} =\frac{V}{\lambda^3},
com
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}}
o comprimento de onda térmico de de Broglie.

Passo 3

Para N átomos indistinguíveis,
Z=\frac{\varsigma^N}{N!}.
A energia livre de Helmholtz é
F=-k_B T\ln Z =-k_B T\bigl(N\ln\varsigma-\ln N!\bigr).
Usando \ln N!\approx N\ln N-N, obtém-se no limite termodinâmico
F\approx -Nk_B T\Bigl[\ln\!\Bigl(\frac{V}{N\lambda^3}\Bigr)+1\Bigr],
e a energia livre por átomo
f=\frac{F}{N}=-k_B T\Bigl[\ln\!\Bigl(\frac{V}{N\lambda^3}\Bigr)+1\Bigr].

Passo 4

A energia interna no ensemble canônico é
U=-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} =\frac{3}{2}N k_B T,
e a pressão vem de p=-(\partial F/\partial V)_T, resultando em
p=\frac{N k_B T}{V}.

Passo 5

A entropia total é
S=-\Bigl(\frac{\partial F}{\partial T}\Bigr)_V =Nk_B\Bigl[\ln\!\Bigl(\frac{V}{N\lambda^3}\Bigr)+\tfrac{5}{2}\Bigr].
Logo, a entropia por átomo no limite termodinâmico é
s=\frac{S}{N} =k_B\Bigl[\ln\!\Bigl(\frac{V}{N\lambda^3}\Bigr)+\tfrac{5}{2}\Bigr].

Resposta

(a) \varsigma=\dfrac{V}{\lambda^3}
(b) Z=\dfrac{\varsigma^N}{N!},\quad F=-Nk_B T\bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{V}{N\lambda^3}\bigr)+1\bigr],\quad f=-k_B T\bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{V}{N\lambda^3}\bigr)+1\bigr]
(c) U=\tfrac{3}{2}N k_B T,\quad p=\dfrac{N k_B T}{V}
(d) s=k_B\bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{V}{N\lambda^3}\bigr)+\tfrac{5}{2}\bigr]

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