Um determinado material magnético é composto por N átomos magnéticos não interagentes, cujos momentos magnéticos \vec{\mu} podem apontar em três direções possíveis: \vec{\mu}_{0}=\mu \hat{y}, \vec{\mu}_{1}=\mu \hat{x} e \vec{\mu}_{2}=-\mu \hat{x}.
O sistema encontra-se em equilíbrio térmico a temperatura T e na presença de um campo magnético uniforme \vec{H}=H \hat{y}, de modo que os níveis de energia correspondentes a um único átomo são \varepsilon_{0}=-\mu H, \varepsilon_{1}=0 e \varepsilon_{2}=0.
a) Obtenha a função de partição canônica z de um átomo, a função de partição Z do sistema e a energia livre de Helmholtz f por átomo.
b) Determine a energia média u=\left\langle\varepsilon_{n}\right\rangle e a entropia s por átomo.
c) Obtenha a magnetização por átomo \vec{m}=m_{x} \hat{x}+m_{y} \hat{y}=\left\langle\vec{\mu}_{n}\right\rangle.
d) Verifique que a susceptibilidade isotérmica \chi_{T}=\left(\frac{\partial m_{y}}{\partial H}\right)_{T} a campo nulo obedece a lei de Curie, \chi_{T} \propto \frac{1}{T}.
a) z=e^{\beta \mu H}+2, Z=z^{N}, f=-k_{B} T \ln z
b) u=-\mu H \frac{e^{\beta \mu H}}{e^{\beta \mu H}+2}, s=k_{B}[\ln z-\beta u]
c) m_{x}=0, m_{y}=\mu \frac{e^{\beta \mu H}}{e^{\beta \mu H}+2}
d) \chi_{T}=\frac{\mu^{2}}{3 k_{B} T} para H \rightarrow 0

Passo 1

O enunciado trata de N átomos magnéticos não interagentes em equilíbrio térmico a temperatura T sob campo \vec H=H\hat y. Cada átomo tem três possíveis orientações de momento magnético \vec\mu_n com energias \varepsilon_0=-\mu H (quando \vec\mu_0=\mu\hat y) e \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=0 (para \pm\mu\hat x). Vamos usar o formalismo canônico: distribuição de Boltzmann, função de partição de um só átomo z, de todo o sistema Z, energia livre de Helmholtz por átomo f, e então calcular energia média u, entropia s, magnetização média \vec m e susceptibilidade.

Passo 2

Para um átomo, a função de partição canônica é a soma das Boltzmann factors dos três estados:
z = \sum_{n=0}^{2} e^{-\beta \varepsilon_n} = e^{-\beta(-\mu H)} + e^{-\beta\cdot0} + e^{-\beta\cdot0} = e^{\beta\mu H} + 2.

Passo 3

Como os átomos não interagem, a partição total é
Z = z^N = \bigl(e^{\beta\mu H}+2\bigr)^{N}.
A energia livre de Helmholtz por átomo é
f = -\frac{k_{B}T}{N}\ln Z = -k_{B}T\ln z.

Passo 4

A energia média por átomo é
u = \langle \varepsilon\rangle = -\frac{\partial}{\partial\beta}\ln z = -\mu H\,\frac{e^{\beta\mu H}}{e^{\beta\mu H}+2}.
A entropia por átomo segue de s = -\frac{\partial f}{\partial T} ou s = k_B(\ln z - \beta u), logo
s = k_{B}\Bigl[\ln\bigl(e^{\beta\mu H}+2\bigr) - \beta\bigl(-\mu H\,\tfrac{e^{\beta\mu H}}{e^{\beta\mu H}+2}\bigr)\Bigr].

Passo 5

A magnetização média por átomo é a média vetorial \langle\vec\mu\rangle. Só o estado 0 contribui em y, então
m_x = 0, \quad m_y = \mu\,\frac{e^{\beta\mu H}}{e^{\beta\mu H}+2}.

Passo 6

A susceptibilidade isotérmica em campo nulo é
\chi_T = \biggl(\frac{\partial m_y}{\partial H}\biggr)_{T} \quad\text{e em }H\to0
fazemos expansão e^{\beta\mu H}\approx1+\beta\mu H. Então
m_y\approx\mu\,\frac{1+\beta\mu H}{3+\beta\mu H} \approx\mu\,\frac{1+\beta\mu H}{3}\Bigl(1-\tfrac{\beta\mu H}{3}\Bigr) \approx\tfrac{\mu}{3} + \tfrac{\mu^2}{3k_B T}H,
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\chi_T = \frac{\mu^2}{3k_B T},
que é a lei de Curie.

Resposta

a) \displaystyle z = e^{\beta \mu H} + 2,\quad Z = z^N,\quad f = -k_B T\ln z.
b) \displaystyle u = -\mu H\,\frac{e^{\beta\mu H}}{e^{\beta\mu H}+2},\quad s = k_B\bigl[\ln\bigl(e^{\beta\mu H}+2\bigr) - \beta\,u\bigr].
c) \displaystyle m_x = 0,\quad m_y = \mu\,\frac{e^{\beta\mu H}}{e^{\beta\mu H}+2}.
d) \displaystyle \chi_T = \frac{\mu^2}{3k_B T}\quad(H\to0).

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