Considere uma gota líquida esférica de raio R. A tensão superficial
age ao longo da interface líquido-ar (
).
A) Aplique a condição de equilíbrio mecânico entre as duas forças que atuam na gota.
B) Deduzir a expressão final de
em função de
.
A) Aplique a condição de equilíbrio mecânico entre as duas forças que atuam na gota.
B) Deduzir a expressão final de
Passo 1
O enunciado nos dá uma gota líquida perfeitamente esférica de raio
e diz que a tensão superficial
atua ao longo da interface líquido-ar. O enunciado pede duas coisas:
- (A) Aplicar a condição de equilíbrio mecânico entre as duas forças que atuam na gota.
- (B) Deduzir a expressão final de
em função de .
Informações relevantes fornecidas:
- A gota é uma esfera de raio
. - A tensão superficial vale
e atua ao longo da superfície de separação líquido–ar. - Define-se a diferença de pressão entre interior e exterior como
(isso é o que normalmente se quer encontrar).
Passo 2
Entendendo fisicamente o que está em jogo (aula rapidinha e simpática).
- A tensão superficial
é uma energia por unidade de área (ou força por unidade de comprimento) que “puxa” a superfície, tendendo a reduzir a área da interface. Unidade SI: ou . - Se a pressão interior for maior que a exterior (
), essa pressão extra tende a expandir a gota; para manter equilíbrio a tensão superficial deve “resistir” a essa expansão. - Uma forma limpa e elegante de expressar a condição de equilíbrio entre pressão e tensão superficial é usar o princípio do trabalho virtual: num pequeno aumento virtual do raio
, o trabalho realizado pela diferença de pressão deve ser igual ao aumento da energia de superfície (caso de equilíbrio estático, o trabalho fornecido pela pressão é consumido para criar nova área).
Vou usar essa ideia: questão mecânica entre duas “forças” (no sentido de efeitos que fazem trabalho) — a diferença de pressão e a tensão superficial — equilibram-se quando variação de energia/ trabalho se anulam.
Passo 3
Escrever as expressões do volume e da área da esfera e calcular as variações infinitesimais quando o raio muda em
.
- Volume da esfera:
Calcular o diferencial
:
- Área da superfície (interface líquido–ar) da esfera:
Calcular o diferencial
:
Explanação curta: incrementar o raio em
aumenta o volume em
(a mesma expressão que a área da esfera vezes
intuitivamente) e aumenta a área em
.
Passo 4
Escrever o balanço de trabalho (condição de equilíbrio mecânico via trabalho virtual).
- Trabalho fornecido pela diferença de pressão ao expandir a gota por
: a diferença de pressão realiza um trabalho igual a vezes a variação de volume:
- Aumento da energia de superfície devido ao crescimento da área é
pois
é energia por unidade de área.
- Em equilíbrio, para um deslocamento virtual infinitesimal, o trabalho fornecido pela pressão é gasto para criar nova superfície (sem energia sobrando):
Substituir
e
calculados no Passo 3:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(note que
no cálculo do diferencial):
Passo 5
Interpretação e comentários finais (amigável e útil para prova).
- A expressão encontrada é
- Significado: a pressão dentro da gota é maior que fora por uma quantidade
. Quanto menor a gota (menor ), maior a diferença de pressão — por isso gotas muito pequenas têm pressão interna bem maior. - Unidade:
em dividido por em dá , como deve ser uma pressão. - Observação útil na prova (bônus que sempre aparece): no caso de um filme fino que tem duas superfícies expostas ao ar (como uma bolha de sabão, com duas interfaces líquido–ar), a diferença de pressão entre interior e exterior é o dobro:
porque existem duas superfícies que aumentam de área quando a bolha cresce.