Considere uma gota líquida esférica de raio R. A tensão superficial \gamma age ao longo da interface líquido-ar ( \mathbf{2 , 0} ).
A) Aplique a condição de equilíbrio mecânico entre as duas forças que atuam na gota.
B) Deduzir a expressão final de \Delta \mathrm{p} em função de \gamma.

Passo 1

O enunciado nos dá uma gota líquida perfeitamente esférica de raio \,R\, e diz que a tensão superficial \,\gamma\, atua ao longo da interface líquido-ar. O enunciado pede duas coisas:
  • (A) Aplicar a condição de equilíbrio mecânico entre as duas forças que atuam na gota.
  • (B) Deduzir a expressão final de \Delta p em função de \gamma.
Informações relevantes fornecidas:
  • A gota é uma esfera de raio \,R.
  • A tensão superficial vale \,\gamma e atua ao longo da superfície de separação líquido–ar.
  • Define-se a diferença de pressão entre interior e exterior como \,\Delta p = p_{\text{int}}-p_{\text{ext}}\, (isso é o que normalmente se quer encontrar).

Passo 2

Entendendo fisicamente o que está em jogo (aula rapidinha e simpática).
  • A tensão superficial \,\gamma é uma energia por unidade de área (ou força por unidade de comprimento) que “puxa” a superfície, tendendo a reduzir a área da interface. Unidade SI: \,\mathrm{N/m} ou \,\mathrm{J/m^{2}}.
  • Se a pressão interior for maior que a exterior ( \Delta p>0), essa pressão extra tende a expandir a gota; para manter equilíbrio a tensão superficial deve “resistir” a essa expansão.
  • Uma forma limpa e elegante de expressar a condição de equilíbrio entre pressão e tensão superficial é usar o princípio do trabalho virtual: num pequeno aumento virtual do raio \,dR, o trabalho realizado pela diferença de pressão deve ser igual ao aumento da energia de superfície (caso de equilíbrio estático, o trabalho fornecido pela pressão é consumido para criar nova área).
Vou usar essa ideia: questão mecânica entre duas “forças” (no sentido de efeitos que fazem trabalho) — a diferença de pressão e a tensão superficial — equilibram-se quando variação de energia/ trabalho se anulam.

Passo 3

Escrever as expressões do volume e da área da esfera e calcular as variações infinitesimais quando o raio muda em \,dR.
  • Volume da esfera:
V=\tfrac{4}{3}\pi R^{3}.
Calcular o diferencial dV:
dV = \frac{d}{dR}\!\left(\tfrac{4}{3}\pi R^{3}\right)\,dR = 4\pi R^{2}\,dR.
  • Área da superfície (interface líquido–ar) da esfera:
A = 4\pi R^{2}.
Calcular o diferencial dA:
dA = \frac{d}{dR}\!\left(4\pi R^{2}\right)\,dR = 8\pi R\,dR.
Explanação curta: incrementar o raio em dR aumenta o volume em 4\pi R^{2}dR (a mesma expressão que a área da esfera vezes dR/1 intuitivamente) e aumenta a área em 8\pi R dR.

Passo 4

Escrever o balanço de trabalho (condição de equilíbrio mecânico via trabalho virtual).
  • Trabalho fornecido pela diferença de pressão ao expandir a gota por dR: a diferença de pressão \Delta p realiza um trabalho igual a \Delta p vezes a variação de volume:
\delta W_{\text{pressão}} = \Delta p\,dV.ã
  • Aumento da energia de superfície devido ao crescimento da área é
\delta E_{\text{superfície}} = \gamma\,dA,í
pois \gamma é energia por unidade de área.
  • Em equilíbrio, para um deslocamento virtual infinitesimal, o trabalho fornecido pela pressão é gasto para criar nova superfície (sem energia sobrando):
\Delta p\,dV = \gamma\,dA.
Substituir dV e dA calculados no Passo 3:
\Delta p \cdot \bigl(4\pi R^{2}\,dR\bigr) = \gamma \cdot \bigl(8\pi R\,dR\bigr).
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por \,4\pi R^{2} dR\, (note que dR\neq 0 no cálculo do diferencial):
\Delta p = \gamma\,\frac{8\pi R}{4\pi R^{2}} = \gamma\,\frac{8}{4}\,\frac{1}{R} = \frac{2\gamma}{R}.

Passo 5

Interpretação e comentários finais (amigável e útil para prova).
  • A expressão encontrada é
\Delta p = \frac{2\gamma}{R}.
  • Significado: a pressão dentro da gota é maior que fora por uma quantidade \,2\gamma/R. Quanto menor a gota (menor R), maior a diferença de pressão — por isso gotas muito pequenas têm pressão interna bem maior.
  • Unidade: \gamma em \mathrm{N/m} dividido por R em \mathrm{m} \mathrm{N/m^{2}}=\mathrm{Pa}, como deve ser uma pressão.
  • Observação útil na prova (bônus que sempre aparece): no caso de um filme fino que tem duas superfícies expostas ao ar (como uma bolha de sabão, com duas interfaces líquido–ar), a diferença de pressão entre interior e exterior é o dobro:
\Delta p_{\text{bolha}} = \frac{4\gamma}{R},
porque existem duas superfícies que aumentam de área quando a bolha cresce.

Resposta

\displaystyle \Delta p=\frac{2\gamma}{R}

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