Considere o grupo linear geral
, onde
ou
.
© Mostre que o conjunto
é um subgrupo de
. Este grupo é chamado de grupo linear especial.
© Mostre que o conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto
é um subgrupo de
. Estamos lidando com grupos lineares, especificamente o grupo linear geral
e o grupo linear especial
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subgrupo e verificar se
satisfaz essas condições dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. No nosso caso, a operação é a multiplicação de matrizes.
Passo 3
Para ser um subgrupo,
precisa cumprir as mesmas propriedades que
. Vamos verificar cada uma:
- Fechamento: Se
e estão em , então também deve estar em . - Elemento Neutro: Deve existir uma matriz identidade
em . - Inversos: Se
está em , então sua inversa também deve estar em .
Passo 4
Fechamento: Vamos mostrar que se
, então
.
Sabemos que
e
. A propriedade dos determinantes diz que:
Então,
, o que significa que
. Assim, o conjunto é fechado pela multiplicação.
Passo 5
Elemento Neutro: A matriz identidade
tem determinante igual a 1, ou seja,
. Portanto,
. Isso garante que o elemento neutro está presente no conjunto.
Passo 6
Inversos: Se
, então
. Queremos mostrar que
.
Usamos a propriedade do determinante da inversa:
Portanto,
, o que implica que
. Assim, todo elemento tem seu inverso no conjunto.
Resposta
Como
satisfaz as propriedades de fechamento, possui a matriz identidade e todo elemento tem inverso dentro do conjunto, concluímos que
é de fato um subgrupo de
. Portanto,
é o grupo linear especial.