Mostre que
.
Passo 1
Oi! Vamos resolver o exercício que pede para mostrarmos que o centro de
, denotado por
, é igual apenas ao conjunto que contém a identidade, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de Teoria dos Grupos, especificamente sobre o que é o centro de um grupo e as propriedades do grupo simétrico
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de um grupo. O centro
de um grupo
é o conjunto de todos os elementos de
que comutam com todos os elementos de
. Em outras palavras,
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o grupo
. Este é o grupo das permutações dos três elementos, ou seja, todas as maneiras de reorganizar três objetos.
tem 6 elementos:
- A identidade
(que não muda nada), - Duas transposições (trocas simples):
, , , - Três ciclos de 3 elementos:
, .
Passo 4
Para encontrar o centro
, precisamos verificar quais desses elementos comutam com todos os outros elementos de
. Vamos testar cada elemento:
-
Identidade
: - Por definição,
comuta com todos os elementos, então .
- Por definição,
-
Transposições
, , : - Vamos verificar, por exemplo, se
comuta com : - Como
, não comuta com , então não está no centro.
- Como
- O mesmo ocorre para
e ; eles também não comutam com outros elementos.
- Vamos verificar, por exemplo, se
-
Ciclos de 3 elementos
, : - Vamos verificar, por exemplo, se
comuta com : - Como
, não comuta com , então não está no centro.
- Como
- O mesmo ocorre para
; ele também não comuta com outros elementos.
- Vamos verificar, por exemplo, se
Resposta
Portanto, o único elemento que comuta com todos os elementos de
é a identidade. Assim,
.