Mostre que Z(S3)=I d.

Passo 1

Oi! Vamos resolver o exercício que pede para mostrarmos que o centro de , denotado por , é igual apenas ao conjunto que contém a identidade, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de Teoria dos Grupos, especificamente sobre o que é o centro de um grupo e as propriedades do grupo simétrico .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de um grupo. O centro de um grupo é o conjunto de todos os elementos de que comutam com todos os elementos de . Em outras palavras, .

Passo 3

Agora, vamos considerar o grupo . Este é o grupo das permutações dos três elementos, ou seja, todas as maneiras de reorganizar três objetos. tem 6 elementos:
  • A identidade (que não muda nada),
  • Duas transposições (trocas simples): , , ,
  • Três ciclos de 3 elementos: , .

Passo 4

Para encontrar o centro (12)(13) = (132) , precisamos verificar quais desses elementos comutam com todos os outros elementos de (13)(12) = (123) . Vamos testar cada elemento:
  1. Identidade (123)(12) = (13) :
    • Por definição, (12)(123) = (23) comuta com todos os elementos, então .
  2. Transposições , , :
    • Vamos verificar, por exemplo, se comuta com :
      • Como , não comuta com , então não está no centro.
    • O mesmo ocorre para e ; eles também não comutam com outros elementos.
  3. Ciclos de 3 elementos , :
    • Vamos verificar, por exemplo, se comuta com :
      • Como , não comuta com , então não está no centro.
    • O mesmo ocorre para ; ele também não comuta com outros elementos.

Resposta

Portanto, o único elemento que comuta com todos os elementos de é a identidade. Assim, .

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