Considere a integral \int_{1}^{\infty} e^{-x^{2}} d x. Marque a(s) alternativa(s) CORRETA(S).
(a) A integral é imprópria e seu valor é maior que 1.
(b) A integral fornece a área delimitada por x=1, o eixo- x e a função definida por f(x)=e^{-x^{2}}.
(c) A integral é divergente.
(d) A integral pode ser resolvida sem auxílio de qualquer teste.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx
devendo marcar quais afirmações sobre ela são corretas. O conteúdo envolve definição de integral imprópria, interpretação geométrica como área sob a curva, testes de convergência (comparação) e a impossibilidade de obter primitiva elementar de e^{-x^{2}}.

Passo 2

Primeiro, notamos que é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para ver se vale mais que 1, comparamos com uma função mais simples: para x\ge1 temos e^{-x^{2}}<e^{-x}. Logo,
\int_{1}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx <\int_{1}^{\infty}e^{-x}\,dx =\Bigl[-e^{-x}\Bigr]_{1}^{\infty} =e^{-1}\approx0,3679,
portanto o valor é menor que 1. Assim, a parte “valor maior que 1” da alternativa (a) é falsa.

Passo 3

Como acabamos de usar o teste de comparação e obtivemos uma cota finita, concluímos que a integral converge. Logo, (c) “A integral é divergente” é falsa. E como precisamos de um teste (a comparação com e^{-x}) para garantir a convergência, a afirmação (d) “pode ser resolvida sem auxílio de qualquer teste” também é falsa.

Passo 4

Por definição de integral definida,
\int_{1}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx
representa a área sob o gráfico de f(x)=e^{-x^{2}}, acima do eixo x, para x variando de 1 até o infinito. Isto corresponde exatamente ao enunciado da alternativa (b).

Resposta

(b)

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