Considere a integral
. Marque a(s) alternativa(s) CORRETA(S).
(a) A integral é imprópria e seu valor é maior que 1.
(b) A integral fornece a área delimitada por
, o eixo-
e a função definida por
.
(c) A integral é divergente.
(d) A integral pode ser resolvida sem auxílio de qualquer teste.
(a) A integral é imprópria e seu valor é maior que 1.
(b) A integral fornece a área delimitada por
(c) A integral é divergente.
(d) A integral pode ser resolvida sem auxílio de qualquer teste.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
devendo marcar quais afirmações sobre ela são corretas. O conteúdo envolve definição de integral imprópria, interpretação geométrica como área sob a curva, testes de convergência (comparação) e a impossibilidade de obter primitiva elementar de
.
Passo 2
Primeiro, notamos que é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para ver se vale mais que
, comparamos com uma função mais simples: para
temos
. Logo,
portanto o valor é menor que
. Assim, a parte “valor maior que
” da alternativa (a) é falsa.
Passo 3
Como acabamos de usar o teste de comparação e obtivemos uma cota finita, concluímos que a integral converge. Logo, (c) “A integral é divergente” é falsa. E como precisamos de um teste (a comparação com
) para garantir a convergência, a afirmação (d) “pode ser resolvida sem auxílio de qualquer teste” também é falsa.
Passo 4
Por definição de integral definida,
representa a área sob o gráfico de
, acima do eixo
, para
variando de
até o infinito. Isto corresponde exatamente ao enunciado da alternativa (b).
Resposta
(b)