Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=100}^{+\infty} a_{n} converge;

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a veracidade da afirmação: “Se \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge, então \sum_{n=100}^{\infty}a_{n} também converge.” O conteúdo envolve séries numéricas e a ideia de que retirar um número finito de termos de uma série convergente não afeta a convergência.

Passo 2

Suponha que
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S
converge. Para todo N\ge100, podemos escrever
\sum_{n=100}^{N}a_{n} =\sum_{n=1}^{N}a_{n}\;-\;\sum_{n=1}^{99}a_{n}.
Chamando \sum_{n=1}^{99}a_{n}=S_{99} (um valor finito, pois é soma de termos em número finito), temos
\sum_{n=100}^{N}a_{n} =\sum_{n=1}^{N}a_{n}-S_{99}.
Como \sum_{n=1}^{N}a_{n}\to S quando N\to\infty, segue que
\lim_{N\to\infty}\sum_{n=100}^{N}a_{n} =S - S_{99},
que é um número finito. Logo \sum_{n=100}^{\infty}a_{n} converge.

Resposta

(V)

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