Considere a integral
 
c) Inverta a ordem de integração e calcule a nova integral iterada e compare o resultado obtido em a)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral dupla onde a ordem de integração originalmente é em 
  primeiro e depois 
 . O conteúdo aqui é sobre cálculo de integrais duplas e como mudar a ordem de integração. Pra resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região de integração e ajustar os limites para inverter a ordem que a gente integra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. A integral que a gente tem é:
Isso significa que 
  varia de 0 a 2, e para cada 
 , 
  varia de 
  até 
 .
Passo 3
Agora, pra inverter a ordem da integração, a gente precisa reescrever a região de integração de forma que 
  varie primeiro e depois 
 . Pra isso, vamos entender melhor como as curvas 
  e 
  se comportam e onde elas se encontram.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Igualando 
  e 
 :
Então, as interseções são nos pontos 
  e 
 . Isso corresponde aos pontos 
  e 
 .
Passo 5
Com isso, sabemos que 
  varia de 0 a 4. Agora, pra cada 
  nesse intervalo, precisamos determinar como 
  varia. A curva 
  pode ser reescrita como 
  e 
  como 
 . Então, para cada 
 , 
  vai de 
  até 
 .
Passo 6
Agora que temos os novos limites, vamos reescrever a integral com a ordem invertida:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a 
 :
Integrando termo a termo:
Avaliado nos limites:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a 
  de 0 a 4:
Podemos separar essa integral em três partes:
Passo 9
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
- Primeira integral:
 
- Segunda integral:
 
- Terceira integral:
 
Passo 10
Agora, somando os resultados das três integrais:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida resulta em 
 , que é o mesmo valor obtido na parte a).