Considere a interface entre dois meios dielétricos perfeitos, homogêneos e isotrópicos, caracterizados por propriedades eletromagnéticas distintas. Admita que não existam cargas elétricas livres nem correntes superficiais na região de fronteira. À luz das equações de Maxwell e das condições de contorno associadas, identifique quais componentes dos campos eletromagnéticos permanecem necessariamente contínuos ao atravessar essa interface.
a) Componente normal do campo elétrico
e componente tangencial do campo magnético
.
b) Componente tangencial do campo elétrico
e componente normal do campo magnético
.
c) Componentes tangencial e normal do campo elétrico.
d) Todos os componentes dos campos elétrico e magnético.
e) Componente tangencial do deslocamento elétrico
e componente normal do campo magnético auxiliar
.
a) Componente normal do campo elétrico
b) Componente tangencial do campo elétrico
c) Componentes tangencial e normal do campo elétrico.
d) Todos os componentes dos campos elétrico e magnético.
e) Componente tangencial do deslocamento elétrico
Passo 1
O enunciado dá:
- Dois meios dielétricos perfeitos, homogêneos e isotrópicos em contato por uma interface plana.
- Não há cargas elétricas livres na interface (
). - Não há correntes superficiais livres na interface (
). - Relações constitutivas locais lineares e isotrópicas:
e , podendo e mudar de um meio para outro.
O que se pede:
- Identificar quais componentes dos campos eletromagnéticos permanecem necessariamente contínuas ao atravessar a interface, dadas as condições acima.
Passo 2
Vou usar as equações de Maxwell nas suas formas integrais relevantes para obter as condições de contorno. As equações que iremos usar são:
Explicando rápido: as duas primeiras são formas integrais de Faraday e de Ampère–Maxwell; as últimas são as leis de Gauss para
e
. Vamos aplicá-las a volumes e laços apropriados que atravessam a interface.
Passo 3
Condição para a componente normal de
(usar um “pillbox”):
- Considere um cilindro muito fino (pillbox) centrado na interface, com faces planas paralelas à interface e área
. Integrando no volume e aplicando o teorema da divergência:
- No limite em que a altura do pillbox tende a zero, as contribuições laterais vão para zero e restam as duas faces. Assim
onde
é a densidade de carga livre superficial. Portanto a condição de contorno é
- Como o enunciado dá
, obtemos
ou seja, a componente normal de
é contínua.
Passo 4
Consequência para a componente normal de
:
- Como
e pode mudar de um meio para outro, a continuidade de não implica continuidade de . - Escrevendo explicitamente:
- Se
então pode ser diferente nos dois lados; portanto a componente normal de não é necessariamente contínua.
Passo 5
Condição para a componente normal de
(usar um pillbox semelhante):
- Integrando
no volume do pillbox e tomando o limite de altura nula, obtemos
- Ou seja, a componente normal de
é sempre contínua independentemente dos materiais, porque não existem monopolos magnéticos.
Passo 6
Condição para a componente tangencial de
(usar um pequeno laço retangular):
- Considere um retângulo com dois lados paralelos à interface (comprimento
) e dois perpendiculares (altura ), com metade do laço em cada meio. Aplique Faraday na forma integral:
- No limite
(área do laço ), o lado normal ao contorno não contribui e o lado com comprimento dá a diferença entre as componentes tangenciais:
- Como a área tende a zero, o termo do lado direito vai para zero, resultando em
ou seja, as componentes tangenciais de
são contínuas:
Passo 7
Condição para a componente tangencial de
e consequência para
:
- Aplicando a lei de Ampère–Maxwell ao mesmo tipo de laço retangular:
- No limite em que a altura do laço tende a zero, o termo volumétrico do deslocamento tende a zero; a contribuição de
sobre a área dá a densidade de corrente superficial . O resultado é a condição
- Com
(nenhuma corrente superficial livre), obtemos
ou seja, as componentes tangenciais de
são contínuas:
- Como
, se muda de meio para meio então pode ser diferente nos dois lados; logo a componente tangencial de não é necessariamente contínua.
Passo 8
Resumo e conclusão (relembrando o que é contínuo obrigatoriamente):
- Pela aplicação direta das equações de Maxwell e pelas hipóteses do enunciado:
-
é contínua (porque ). -
é contínua (porque ). -
é contínua (porque Faraday impõe isso). -
é contínua (porque ).
-
- Convertendo para
e : - A componente tangencial de
( ) é necessariamente contínua. - A componente normal de
( ) é necessariamente contínua. - A componente normal de
( ) não precisa ser contínua se muda. - A componente tangencial de
( ) não precisa ser contínua se muda.
- A componente tangencial de
Dica de prova: na hora da prova, desenhe sempre o pillbox para condições normais e o laço retangular para condições tangenciais; escreva explicitamente
e
e faça o limite da altura/área → 0.
Resposta
b) Componente tangencial do campo elétrico
e componente normal do campo magnético
.