Considere a interface entre dois meios dielétricos perfeitos, homogêneos e isotrópicos, caracterizados por propriedades eletromagnéticas distintas. Admita que não existam cargas elétricas livres nem correntes superficiais na região de fronteira. À luz das equações de Maxwell e das condições de contorno associadas, identifique quais componentes dos campos eletromagnéticos permanecem necessariamente contínuos ao atravessar essa interface.
a) Componente normal do campo elétrico E_{n} e componente tangencial do campo magnético \mathrm{B}_{\mathrm{t}}.
b) Componente tangencial do campo elétrico \mathrm{E}_{\mathrm{t}} e componente normal do campo magnético \mathrm{B}_{\mathrm{n}}.
c) Componentes tangencial e normal do campo elétrico.
d) Todos os componentes dos campos elétrico e magnético.
e) Componente tangencial do deslocamento elétrico \mathrm{D}_{\mathrm{t}} e componente normal do campo magnético auxiliar \mathrm{H}_{\mathrm{n}}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois meios dielétricos perfeitos, homogêneos e isotrópicos em contato por uma interface plana.
  • Não há cargas elétricas livres na interface ( \sigma_{f}=0).
  • Não há correntes superficiais livres na interface ( \mathbf{K}_{f}=\mathbf{0}).
  • Relações constitutivas locais lineares e isotrópicas: \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}, podendo \varepsilon e \mu mudar de um meio para outro.
O que se pede:
  • Identificar quais componentes dos campos eletromagnéticos permanecem necessariamente contínuas ao atravessar a interface, dadas as condições acima.

Passo 2

Vou usar as equações de Maxwell nas suas formas integrais relevantes para obter as condições de contorno. As equações que iremos usar são:
\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}
\oint_{\partial S}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\int_{S}\mathbf{J}_{f}\cdot d\mathbf{S}+\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{D}\,dV=\int_{V}\rho_{f}\,dV
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{B}\,dV=0 .
Explicando rápido: as duas primeiras são formas integrais de Faraday e de Ampère–Maxwell; as últimas são as leis de Gauss para \mathbf{D} e \mathbf{B}. Vamos aplicá-las a volumes e laços apropriados que atravessam a interface.

Passo 3

Condição para a componente normal de \mathbf{D} (usar um “pillbox”):
  • Considere um cilindro muito fino (pillbox) centrado na interface, com faces planas paralelas à interface e área A. Integrando \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{f} no volume e aplicando o teorema da divergência:
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{D}\,dV=\oint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=\int_{V}\rho_{f}\,dV.
  • No limite em que a altura do pillbox tende a zero, as contribuições laterais vão para zero e restam as duas faces. Assim
\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{D}_{2}A-\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{D}_{1}A=\sigma_{f}A,
onde \sigma_{f} é a densidade de carga livre superficial. Portanto a condição de contorno é
\hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{D}_{2}-\mathbf{D}_{1})=\sigma_{f}.
  • Como o enunciado dá \sigma_{f}=0, obtemos
\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{D}_{2}=\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{D}_{1},
ou seja, a componente normal de \mathbf{D} é contínua.

Passo 4

Consequência para a componente normal de \mathbf{E}:
  • Como \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e \varepsilon pode mudar de um meio para outro, a continuidade de \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{D} não implica continuidade de \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{E}.
  • Escrevendo explicitamente:
\varepsilon_{2}\,(\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{E}_{2})=\varepsilon_{1}\,(\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{E}_{1}).
  • Se \varepsilon_{1}\neq\varepsilon_{2} então \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{E} pode ser diferente nos dois lados; portanto a componente normal de \mathbf{E} não é necessariamente contínua.

Passo 5

Condição para a componente normal de \mathbf{B} (usar um pillbox semelhante):
  • Integrando \nabla\cdot\mathbf{B}=0 no volume do pillbox e tomando o limite de altura nula, obtemos
\hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{B}_{2}-\mathbf{B}_{1})=0.
  • Ou seja, a componente normal de \mathbf{B} é sempre contínua independentemente dos materiais, porque não existem monopolos magnéticos.

Passo 6

Condição para a componente tangencial de \mathbf{E} (usar um pequeno laço retangular):
  • Considere um retângulo com dois lados paralelos à interface (comprimento L) e dois perpendiculares (altura h), com metade do laço em cada meio. Aplique Faraday na forma integral:
\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
  • No limite h\to 0 (área do laço \to 0), o lado normal ao contorno não contribui e o lado com comprimento L dá a diferença entre as componentes tangenciais:
(\mathbf{E}_{2}^{t}-\mathbf{E}_{1}^{t})\cdot L = -\frac{d}{dt}(\mathbf{B}\text{-flux})\cdot \text{(área)}.á
  • Como a área tende a zero, o termo do lado direito vai para zero, resultando em
\hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{E}_{2}-\mathbf{E}_{1})=\mathbf{0},
ou seja, as componentes tangenciais de \mathbf{E} são contínuas:
\mathbf{E}_{2}^{t}=\mathbf{E}_{1}^{t}.

Passo 7

Condição para a componente tangencial de \mathbf{H} e consequência para \mathbf{B}_{t}:
  • Aplicando a lei de Ampère–Maxwell ao mesmo tipo de laço retangular:
\oint_{\partial S}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\int_{S}\mathbf{J}_{f}\cdot d\mathbf{S}+\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}.
  • No limite em que a altura do laço tende a zero, o termo volumétrico do deslocamento tende a zero; a contribuição de \mathbf{J}_{f} sobre a área dá a densidade de corrente superficial \mathbf{K}_{f}. O resultado é a condição
\hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1})=\mathbf{K}_{f}.
  • Com \mathbf{K}_{f}=\mathbf{0} (nenhuma corrente superficial livre), obtemos
\hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1})=\mathbf{0},
ou seja, as componentes tangenciais de \mathbf{H} são contínuas:
\mathbf{H}_{2}^{t}=\mathbf{H}_{1}^{t}.
  • Como \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}, se \mu muda de meio para meio então \mathbf{B}_{t}=\mu\mathbf{H}_{t} pode ser diferente nos dois lados; logo a componente tangencial de \mathbf{B} não é necessariamente contínua.

Passo 8

Resumo e conclusão (relembrando o que é contínuo obrigatoriamente):
  • Pela aplicação direta das equações de Maxwell e pelas hipóteses do enunciado:
    • \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{D} é contínua (porque \sigma_{f}=0).
    • \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{B} é contínua (porque \nabla\cdot\mathbf{B}=0).
    • \mathbf{E}^{t} é contínua (porque Faraday impõe isso).
    • \mathbf{H}^{t} é contínua (porque \mathbf{K}_{f}=\mathbf{0}).
  • Convertendo para \mathbf{E} e \mathbf{B}:
    • A componente tangencial de \mathbf{E} ( \mathbf{E}_{t}) é necessariamente contínua.
    • A componente normal de \mathbf{B} ( \mathbf{B}_{n}) é necessariamente contínua.
    • A componente normal de \mathbf{E} ( \mathbf{E}_{n}) não precisa ser contínua se \varepsilon muda.
    • A componente tangencial de \mathbf{B} ( \mathbf{B}_{t}) não precisa ser contínua se \mu muda.
Dica de prova: na hora da prova, desenhe sempre o pillbox para condições normais e o laço retangular para condições tangenciais; escreva explicitamente \sigma_{f} e \mathbf{K}_{f} e faça o limite da altura/área → 0.

Resposta

b) Componente tangencial do campo elétrico \mathrm{E}_{\mathrm{t}} e componente normal do campo magnético \mathrm{B}_{\mathrm{n}}.

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