Uma onda transversal se propaga em uma corda com a equação y(x, t)=0,05 \operatorname{sen}(2 x-4 t) (SI). Qual é a velocidade transversal máxima de um elemento da corda?
a) 0,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
b) 0,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
c) 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
d) 0,05 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
e) 0,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado fornece a equação da onda transversal na corda e pede a velocidade transversal máxima de um elemento da corda. Informações dadas:
  • A função de deslocamento é y(x,t)=0,05\operatorname{sen}(2x-4t) (unidades SI).
  • O que se pede: a velocidade transversal máxima (ou seja, o maior valor absoluto da velocidade vertical de um ponto da corda, ao longo do tempo).

Passo 2

Entendendo o que é a velocidade transversal de um elemento da corda:
  • Um “elemento da corda” em posição fixa x tem deslocamento vertical y(x,t) que varia com o tempo t.
  • A velocidade transversal (vertical) desse elemento é a derivada parcial de y em relação a t mantendo x fixo: \displaystyle v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}.
  • Observação importante (para a prova): essa velocidade é diferente da velocidade de propagação da onda (que envolve k e \omega de outra forma). Aqui queremos a velocidade instantânea vertical de um ponto da corda.

Passo 3

Vamos calcular a derivada temporal usando a regra da cadeia. Primeiro identifique a amplitude e a frequência angular:
  • Amplitude: A=0,05.
  • A função trigonométrica tem argumento 2x-4t. Assim o termo multiplicador de t é -4, então a frequência angular é \omega=4 (unidade \mathrm{s^{-1}}).
    Agora escrevemos a fórmula da velocidade transversal:
v_y(x,t)=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(A\operatorname{sen}(2x-4t)\bigr).

Passo 4

Aplicando a derivada passo a passo (derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a t é \cos(u)\cdot \dfrac{du}{dt}):
v_y(x,t)=A\cos(2x-4t)\cdot\frac{d}{dt}(2x-4t).
Como x é tratado como constante ao derivar em relação a t, tem-se \dfrac{d}{dt}(2x-4t)=-4. Portanto:
v_y(x,t)=A\cos(2x-4t)\cdot(-4)=-4A\cos(2x-4t).
Substituindo A=0,05:
v_y(x,t)=-4\cdot0,05\cos(2x-4t)=-0,20\cos(2x-4t).

Passo 5

Determinar a velocidade transversal máxima (em valor absoluto):
  • A função \cos(2x-4t) varia entre -1 e 1.
  • Assim o maior valor absoluto de v_y é |-0,20|\times 1 = 0,20.
    Outra forma de ver: a velocidade máxima em módulo é A\omega. Aqui A=0,05 e \omega=4, então A\omega=0,05\cdot4=0,20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo: a maior velocidade vertical que qualquer ponto da corda alcança é \,0,20\\ \mathrm{m/s}. Mandou bem por trazer a questão — essa técnica (derivar em relação ao tempo e usar A\omega) vale para muitas questões de ondas em prova.

Resposta

b) 0,2\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados