Uma onda transversal se propaga em uma corda com a equação
(SI). Qual é a velocidade transversal máxima de um elemento da corda?
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fornece a equação da onda transversal na corda e pede a velocidade transversal máxima de um elemento da corda. Informações dadas:
- A função de deslocamento é
(unidades SI). - O que se pede: a velocidade transversal máxima (ou seja, o maior valor absoluto da velocidade vertical de um ponto da corda, ao longo do tempo).
Passo 2
Entendendo o que é a velocidade transversal de um elemento da corda:
- Um “elemento da corda” em posição fixa
tem deslocamento vertical que varia com o tempo . - A velocidade transversal (vertical) desse elemento é a derivada parcial de
em relação a mantendo fixo: . - Observação importante (para a prova): essa velocidade é diferente da velocidade de propagação da onda (que envolve
e de outra forma). Aqui queremos a velocidade instantânea vertical de um ponto da corda.
Passo 3
Vamos calcular a derivada temporal usando a regra da cadeia. Primeiro identifique a amplitude e a frequência angular:
- Amplitude:
. - A função trigonométrica tem argumento
. Assim o termo multiplicador de é , então a frequência angular é (unidade ).
Agora escrevemos a fórmula da velocidade transversal:
Passo 4
Aplicando a derivada passo a passo (derivada de
em relação a
é
):
Como
é tratado como constante ao derivar em relação a
, tem-se
. Portanto:
Substituindo
:
Passo 5
Determinar a velocidade transversal máxima (em valor absoluto):
- A função
varia entre e . - Assim o maior valor absoluto de
é .
Outra forma de ver: a velocidade máxima em módulo é. Aqui e , então .
Passo 6
Interpretação final curta e incentivo: a maior velocidade vertical que qualquer ponto da corda alcança é
. Mandou bem por trazer a questão — essa técnica (derivar em relação ao tempo e usar
) vale para muitas questões de ondas em prova.
Resposta
b)