Considere o intervalo simétrico 
  e 
  é contínua em 
  (conjunto das funções reais definidas em 
  com derivadas contínuas em 
  ).
(d) Mostre que 
  e que 
 . Neste caso dizemos que 
  é soma direta de 
  com 
  e escrevemos 
 .
(d) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o espaço vetorial 
  pode ser escrito como a soma direta de dois subespaços 
  e 
 . Isso significa que todo elemento de 
  pode ser decomposto como a soma de um elemento de 
  e outro de 
 , e que a interseção desses subespaços é apenas o vetor zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e soma direta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa 
 . Isso quer dizer que qualquer função 
  pode ser escrita como 
 , onde 
  e 
 . Vamos assumir que 
  e 
  são subespaços de 
  definidos de forma que isso seja possível.
Passo 3
Vamos agora mostrar que 
 . Isso significa que a única função que está em ambos os subespaços 
  e 
  é a função zero (a função que vale zero em todo o intervalo 
 ). Se conseguirmos mostrar isso, estaremos garantindo que a soma é direta.
Passo 4
Para verificar 
 , vamos pegar uma função genérica 
  e tentar escrevê-la como 
 . Dependendo de como 
  e 
  são definidos, geralmente fazemos uma decomposição que separa 
  em partes que pertencem a cada subespaço. Por exemplo, se 
  for o conjunto de funções pares e 
  o conjunto de funções ímpares, então podemos escrever qualquer 
  como soma de uma função par e uma função ímpar.
Passo 5
Agora, para mostrar que 
 , assumimos que existe uma função 
  que está em ambos os subespaços. Isso significa que 
  pertence a 
  e a 
  ao mesmo tempo. Se conseguirmos provar que isso só acontece quando 
  é a função zero, teremos concluído essa parte.
Passo 6
Com essas duas partes mostradas — que qualquer 
  pode ser escrito como 
  e que a única função comum a 
  e 
  é a zero — podemos concluir que 
  é a soma direta de 
  e 
 .
Resposta
Assim, demonstramos que 
 , ou seja, 
  é soma direta de 
  com 
 .