Verifique que os seguintes subconjuntos de 
  são subespaços vetoriais:
(a) 
  e 
 .
(a)
Passo 1
Beleza, a gente vai verificar se um certo conjunto de vetores em 
  é um subespaço vetorial. O enunciado define 
  como todos os vetores 
  que satisfazem as condições 
  e 
 . Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial: ele deve conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 
 . O vetor zero em 
  é 
 . Substituindo nas condições:
Então, o vetor zero está em 
 .
Passo 3
Agora, vamos ver se 
  é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em 
 , a soma deles também deve estar em 
 . Suponha que 
  e 
  estão em 
 . Então:
A soma 
  deve satisfazer:
Então, 
  também está em 
 .
Passo 4
Por último, vamos verificar se 
  é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor em 
  e multiplicarmos por qualquer escalar 
 , o resultado também deve estar em 
 . Seja 
  em 
  e 
  um escalar qualquer. Então:
Verificando as condições:
Portanto, 
  também está em 
 .
Resposta
O conjunto 
  satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de 
 .