Considere os intervalos reais I=(-4,-1] e J=[2,4) e o conjunto I \times J=\{(x, y) : x \in I e y \in J\}.
a) O ponto ( -\pi, \pi ) é um dos elementos de I \times J ? Justifique sua resposta.
b) Quantos elementos o conjunto I \times J possui?
c) Esboce no plano cartesiano um gráfico para o conjunto I \times J.
d) Dê três exemplos de pontos que estão na fronteira de I \times J mas que não pertencem a este conjunto.
e) Esboce o gráfico da relação S abaixo, de domínio I e contradomínio J :
S=\{(x, y) \in I \times J: x<-\pi \text { e } y \geq \pi\}

Passo 1

O enunciado define os intervalos
I = (-4,-1]
e
J = [2,4)
e o produto cartesiano
I \times J = \{(x,y)\mid x\in I,\;y\in J\}.
Pede-se:
– (a) verificar se (-\pi,\pi)\in I\times J,
– (b) a quantidade de elementos de I\times J,
– (c) um esboço do conjunto no plano,
– (d) três pontos da fronteira que não pertencem a I\times J,
– (e) o esboço de
S = \{(x,y)\in I\times J \mid x<-\pi \text{ e } y\ge \pi\}.

Passo 2

Para saber se (-\pi,\pi)\in I\times J precisamos de
-\pi\in(-4,-1]\quad\text{e}\quad \pi\in[2,4).
Como -4<-\pi< -1 e 2\le\pi<4, temos de fato -\pi\in I e \pi\in J. Logo
(-\pi,\pi)\in I\times J.

Passo 3

O conjunto I é um intervalo real não finito em elementos, e o mesmo vale para J. O produto cartesiano de dois intervalos contínuos em \mathbb{R} tem cardinalidade do contínuo, i.e., contém infinitos elementos não numeráveis. Portanto I\times J tem infinitos elementos.

Passo 4

O esboço de I\times J é um “retângulo” no plano (x,y) com:
– fronteira vertical esquerda em x=-4 aberta e direita em x=-1 fechada;
– fronteira horizontal inferior em y=2 fechada e superior em y=4 aberta.
Basta desenhar esse retângulo e marcar os lados abertos com tracejado e os fechados com linha contínua e pontos fechados.

Passo 5

A fronteira de I\times J é dada pelos pontos que satisfazem x=-4 ou x=-1 ou y=2 ou y=4. Para escolher pontos que estão na fronteira mas não em I\times J, deve faltar a condição de pertencer a I ou a J. Três exemplos são:
(-4,3),\quad (-2,4),\quad (-4,2).

Passo 6

A relação
S=\{(x,y)\in I\times J\mid x<-\pi,\;y\ge\pi\}
é a parte do retângulo de I\times J com x variando em (-4,-\pi) (aberto em ambas as extremidades) e y em [\pi,4). No esboço, basta sombrear esse retângulo parcial e indicar que em x=-\pi e y=\pi temos bordas fechadas só em y=\pi.

Resposta

(a) Sim, pois -4<-\pi<-1 e 2\le\pi<4.
(b) Tem infinitos elementos (cardinalidade do contínuo).
(c) Retângulo com x\in(-4,-1] e y\in[2,4), aberto em x=-4 e y=4.
(d) Por exemplo (-4,3), (-2,4) e (-4,2).
(e) Região do retângulo com x<-\pi e y\ge\pi, i.e.\ x\in(-4,-\pi), y\in[\pi,4).

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