Considere os intervalos reais
e
e o conjunto
:
e
.
a) O ponto (
) é um dos elementos de
? Justifique sua resposta.
b) Quantos elementos o conjunto
possui?
c) Esboce no plano cartesiano um gráfico para o conjunto
.
d) Dê três exemplos de pontos que estão na fronteira de
mas que não pertencem a este conjunto.
e) Esboce o gráfico da relação
abaixo, de domínio
e contradomínio
:
a) O ponto (
b) Quantos elementos o conjunto
c) Esboce no plano cartesiano um gráfico para o conjunto
d) Dê três exemplos de pontos que estão na fronteira de
e) Esboce o gráfico da relação
Passo 1
O enunciado define os intervalos
e
e o produto cartesiano
Pede-se:
– (a) verificar se ,
– (b) a quantidade de elementos de ,
– (c) um esboço do conjunto no plano,
– (d) três pontos da fronteira que não pertencem a ,
– (e) o esboço de
– (a) verificar se
– (b) a quantidade de elementos de
– (c) um esboço do conjunto no plano,
– (d) três pontos da fronteira que não pertencem a
– (e) o esboço de
Passo 2
Para saber se
precisamos de
Como
e
, temos de fato
e
. Logo
Passo 3
O conjunto
é um intervalo real não finito em elementos, e o mesmo vale para
. O produto cartesiano de dois intervalos contínuos em
tem cardinalidade do contínuo, i.e., contém infinitos elementos não numeráveis. Portanto
tem infinitos elementos.
Passo 4
O esboço de
é um “retângulo” no plano
com:
– fronteira vertical esquerda em aberta e direita em
fechada;
– fronteira horizontal inferior em fechada e superior em
aberta.
Basta desenhar esse retângulo e marcar os lados abertos com tracejado e os fechados com linha contínua e pontos fechados.
– fronteira vertical esquerda em
– fronteira horizontal inferior em
Basta desenhar esse retângulo e marcar os lados abertos com tracejado e os fechados com linha contínua e pontos fechados.
Passo 5
A fronteira de
é dada pelos pontos que satisfazem
ou
ou
ou
. Para escolher pontos que estão na fronteira mas não em
, deve faltar a condição de pertencer a
ou a
. Três exemplos são:
Passo 6
A relação
é a parte do retângulo de
com
variando em
(aberto em ambas as extremidades) e
em
. No esboço, basta sombrear esse retângulo parcial e indicar que em
e
temos bordas fechadas só em
.
Resposta
(a) Sim, pois
e
.
(b) Tem infinitos elementos (cardinalidade do contínuo).
(c) Retângulo com e
, aberto em
e
.
(d) Por exemplo ,
e
.
(e) Região do retângulo com e
, i.e.\
,
.
(b) Tem infinitos elementos (cardinalidade do contínuo).
(c) Retângulo com
(d) Por exemplo
(e) Região do retângulo com