Sobre números reais, julgue C (CERTO) ou E (ERRADO) cada um dos seguintes itens abaixo:
a) ( ) O número \pi é igual a 3,14 .
b) ( ) O número 2, 131313 … pode ser escrito como \frac{2.131 .313}{10^{6}}
c) ( ) Os números 2,999 \ldots e 3 são iguais.
d) ( ) Existem mais números racionais do que números irracionais.
e) ( ) O produto de dois números racionais é sempre um número racional.
f) ( ) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
g) ( ) O conjunto \{x \in \mathbb{R}: 2<x \leq 4\} pode ser representado, na notação de intervalo, por (2,4].
h) ( ) No intervalo [0,5) há, exatamente, 5 números reais.
i) ( ) O conjunto [ 1, \pi ) \cap[e, 4] pode ser representado por [ e, \pi ).
j) ( ) Se A=[-1,4], B=[1,5], C=[2,4] e D=(1,3], então é verdade que o número 3 pertence ao conjunto (A \cap B)-(C-D).
k) ( ) ( 0,1 ] \subset[0,1).
l) ( ) \} \subset[0,1).
Passo 1
O enunciado lista várias afirmações sobre números reais, envolvendo aproximações decimais, representação de números racionais e irracionais, cardinalidade de conjuntos, produtos e notação de intervalos, além de operações de união, interseção e diferença de conjuntos. Vamos verificar cada item usando definições de:
aproximação decimal e representação periódica,
números racionais \mathbb{Q} e irracionais,
cardinalidade (contável vs. não contável),
propriedades de produto em \mathbb{Q} e complementares,
notação de intervalos em \mathbb{R},
operações de conjuntos (interseção, diferença e inclusão).
Passo 2
a) \pi é irracional e sua expansão decimal começa por 3,1415\ldots, não é exatamente 3,14. Logo, a afirmação é falsa.
b) O número 2,131313\ldots é a dízima periódica 2,\overline{13}, que vale 2+\tfrac{13}{99}. A fração \tfrac{2\,131\,313}{10^{6}} representa apenas seis casas decimais 2,131313, não infinitas. Então a afirmação é falsa.
c) A dízima 2,999\ldots é igual a 3 (propriedade clássica de repetição 9). Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
d) Os racionais são numeráveis (contáveis) e os irracionais são não numeráveis (não contáveis). Logo há mais irracionais do que racionais, portanto “existem mais números racionais do que irracionais” é falso.
e) O produto de dois racionais \tfrac{p}{q} e \tfrac{r}{s} é \tfrac{p\,r}{q\,s}, ainda racional. Logo a afirmação é verdadeira.
f) O produto de dois irracionais nem sempre é irracional (ex.: \sqrt{2}\times\sqrt{2}=2). Logo a afirmação “sempre” é falsa.
Passo 4
g) O conjunto \{x\in\mathbb{R}:2<x\le4\} corresponde exatamente a (2,4]. A afirmação é verdadeira.
i)
pois e\approx2,718 e \pi\approx3,14<4. A afirmação é verdadeira.
k) (0,1] contém 1, mas [0,1) não. Logo (0,1]\nsubseteq[0,1) e a afirmação é falsa.
l) O conjunto vazio \emptyset (notação “\{\}”) é subconjunto de qualquer conjunto. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 5
h) Entre 0 e 5 (inclusive em 0, exclusivo em 5) há infinitos números reais, não exatamente cinco. A afirmação é falsa.
Passo 6
j)
A∩B = [-1,4]\cap[1,5]=[1,4].
C−D = [2,4]-(1,3] remove de [2,4] todos os x com 1<x\le3, sobrando (3,4].
Então
(A\cap B)-(C-D) =[1,4]-(3,4]=( [1,3] )\,,
que contém 3. Logo a afirmação é verdadeira.
Resposta
a) E
b) E
c) C
d) E
e) C
f) E
g) C
h) E
i) C
j) C
k) E
l) C