Considere que já esteja comprovado que um conjunto
seja um espaço vetorial. Mostre:
uma cópia IDÊNTICA de V é um subespaço vetorial de V, ou seja, V é um subespaço vetorial de si próprio.
uma cópia IDÊNTICA de V é um subespaço vetorial de V, ou seja, V é um subespaço vetorial de si próprio.
Passo 1
O enunciado dá que
já é um espaço vetorial (ou seja, possui um campo de escalares
, uma adição e uma multiplicação por escalar que satisfazem os axiomas). O que se pede é mostrar que uma cópia idêntica de
é um subespaço vetorial de
— em outras palavras, provar que
é um subespaço vetorial de si próprio.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
-
é um espaço vetorial sobre o corpo . - Queremos verificar as condições que garantem que um subconjunto é subespaço, aplicadas ao próprio conjunto
.
Passo 2
Definição útil (explicada): um subconjunto
é um subespaço vetorial de
se e somente se:
-
é não vazio (uma forma prática: , onde é o vetor zero de ); -
é fechado sob adição: para quaisquer vale ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer e qualquer vale .
Explicação didática rápida: esses três itens garantem que
herda dos axiomas do espaço vetorial tudo o que precisa para ser também um espaço vetorial com as mesmas operações. Não é preciso re-verificar todos os axiomas (associatividade, existência de neutro, etc.), porque eles já valem em
e são preservados se as operações em
são as mesmas e
satisfaz as três condições acima.
Passo 3
Verificar que
é não vazio: como
é espaço vetorial, existe o vetor zero
. Portanto
é não vazio e satisfaz a condição (1).
Passo 4
Verificar fechamento por adição para
: tome quaisquer
. Pelo fato de
ser espaço vetorial, a soma
está definida em
e pertence a
. Logo
é fechado sob adição, satisfazendo a condição (2).
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar para
: tome qualquer escalar
e qualquer vetor
. Pela propriedade de espaço vetorial, o produto
pertence a
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar, satisfazendo a condição (3).
Passo 6
Conclusão lógica:
satisfaz as três condições necessárias e suficientes para ser um subespaço vetorial de si próprio (não vazio, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar). Portanto
é um subespaço vetorial de
.
Observação extra (perspectiva alternativa, só para intuição): a aplicação identidade
definida por
é linear e sua imagem é exatamente
; assim
aparece também como imagem de um morfismo linear, outra maneira de ver que é subespaço. Usei, porém, a verificação direta das três propriedades porque é a maneira mais simples e elementar de provar o que o enunciado pede — perfeita para resolver rapidamente numa prova.