Considere que já esteja comprovado que um conjunto \mathbf{V} seja um espaço vetorial. Mostre:
uma cópia IDÊNTICA de V é um subespaço vetorial de V, ou seja, V é um subespaço vetorial de si próprio.

Passo 1

O enunciado dá que \mathbf{V} já é um espaço vetorial (ou seja, possui um campo de escalares \mathbb{F}, uma adição e uma multiplicação por escalar que satisfazem os axiomas). O que se pede é mostrar que uma cópia idêntica de \mathbf{V} é um subespaço vetorial de \mathbf{V} — em outras palavras, provar que \mathbf{V} é um subespaço vetorial de si próprio.
Informações relevantes que temos:
  • \mathbf{V} é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{F}.
  • Queremos verificar as condições que garantem que um subconjunto é subespaço, aplicadas ao próprio conjunto \mathbf{V}.

Passo 2

Definição útil (explicada): um subconjunto W\subseteq \mathbf{V} é um subespaço vetorial de \mathbf{V} se e somente se:
  1. W é não vazio (uma forma prática: 0_{\mathbf{V}}\in W, onde 0_{\mathbf{V}} é o vetor zero de \mathbf{V});
  2. W é fechado sob adição: para quaisquer u,v\in W vale u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer a\in\mathbb{F} e qualquer v\in W vale a v\in W.
Explicação didática rápida: esses três itens garantem que W herda dos axiomas do espaço vetorial tudo o que precisa para ser também um espaço vetorial com as mesmas operações. Não é preciso re-verificar todos os axiomas (associatividade, existência de neutro, etc.), porque eles já valem em \mathbf{V} e são preservados se as operações em W são as mesmas e W satisfaz as três condições acima.

Passo 3

Verificar que \mathbf{V} é não vazio: como \mathbf{V} é espaço vetorial, existe o vetor zero 0_{\mathbf{V}}\in \mathbf{V}. Portanto \mathbf{V} é não vazio e satisfaz a condição (1).

Passo 4

Verificar fechamento por adição para \mathbf{V}: tome quaisquer u,v\in \mathbf{V}. Pelo fato de \mathbf{V} ser espaço vetorial, a soma u+v está definida em \mathbf{V} e pertence a \mathbf{V}. Logo \mathbf{V} é fechado sob adição, satisfazendo a condição (2).

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar para \mathbf{V}: tome qualquer escalar a\in\mathbb{F} e qualquer vetor v\in \mathbf{V}. Pela propriedade de espaço vetorial, o produto a v pertence a \mathbf{V}. Assim \mathbf{V} é fechado sob multiplicação por escalar, satisfazendo a condição (3).

Passo 6

Conclusão lógica: \mathbf{V} satisfaz as três condições necessárias e suficientes para ser um subespaço vetorial de si próprio (não vazio, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar). Portanto \mathbf{V} é um subespaço vetorial de \mathbf{V}.
Observação extra (perspectiva alternativa, só para intuição): a aplicação identidade \mathrm{id}:\mathbf{V}\to\mathbf{V} definida por \mathrm{id}(v)=v é linear e sua imagem é exatamente \mathbf{V}; assim \mathbf{V} aparece também como imagem de um morfismo linear, outra maneira de ver que é subespaço. Usei, porém, a verificação direta das três propriedades porque é a maneira mais simples e elementar de provar o que o enunciado pede — perfeita para resolver rapidamente numa prova.

Resposta

\mathbf{V} é um subespaço vetorial de \mathbf{V}.

Exercícios relacionados