1. Seja V=\{u \in \mathscr{R} / u>0\}. Suponhamos que consideremos a “adição” em V como sendo a multiplicação USUAL de números reais positivos, isto é,
u \oplus v=u \cdot v, \quad \forall u, v \in \mathbf{V}
e que a multiplicação de um elemento de \mathbf{V} por um número real seja dada por:
\alpha \cdot u=u^{\alpha}, \quad \forall u \in \mathbf{V e} \quad \forall \alpha \in \mathscr{R},
Mostre, então, que o conjunto V, assim estruturado, se torna um espaço vetorial sobre \mathscr{R}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto V=\{u\in\mathscr{R}\mid u>0\} (os números reais positivos) e duas operações:
  • “adição” em V definida por
u\oplus v = u\cdot v,\quad \forall u,v\in V;
  • multiplicação por escalar (onde o escalar é um real) definida por
\alpha\cdot u = u^{\alpha},\quad \forall u\in V,\\ \forall \alpha\in\mathscr{R}.
O que se pede: mostrar que, com essas operações, V é um espaço vetorial sobre \mathscr{R}.
Isto significa que preciso verificar (e explicar) todos os axiomas de espaço vetorial para quaisquer u,v,w\in V e quaisquer escalares \alpha,\beta\in\mathscr{R}.

Passo 2

Primeiro lembrando, de forma simples e calma, o que cada símbolo significa:
  • u,v,w são vetores (aqui: números reais positivos);
  • \alpha,\beta são escalares (aqui: números reais);
  • \oplus é a “adição vetorial” dada por multiplicação usual;
  • \alpha\cdot u é a multiplicação por escalar dada por elevar u à potência \alpha.
Vou checar, um a um, os axiomas padrão (fecho, comutatividade, associatividade da adição; elemento zero; inverso aditivo; fecho da multiplicação por escalar; propriedades de distributividade e compatibilidade de escalares; identidade escalar). Em cada verificação vou explicar por que as igualdades usadas são válidas (sempre lembrando que u>0 garante que potências reais estão bem definidas).

Passo 3

Queremos mostrar que u\oplus v\in V quando u,v\in V. Aplicando a definição:
u\oplus v = u\cdot v.
Como u>0 e v>0, o produto u\cdot v é também >0. Logo u\oplus v\in V.
Comentários: este é o fecho da operação de adição no sentido vetorial — multiplicar dois positivos dá positivo.

Passo 4

Preciso mostrar que u\oplus v = v\oplus u. Pela definição,
u\oplus v = u\cdot v = v\cdot u = v\oplus u,
pois a multiplicação usual de reais é comutativa. Portanto a “adição” é comutativa.

Passo 5

Mostrar que (u\oplus v)\oplus w = u\oplus (v\oplus w). Calculando ambos os lados:
(u\oplus v)\oplus w = (u\cdot v)\oplus w = (u\cdot v)\cdot w
e
u\oplus (v\oplus w) = u\oplus (v\cdot w) = u\cdot (v\cdot w).
Como a multiplicação usual é associativa, (u\cdot v)\cdot w = u\cdot (v\cdot w). Assim a “adição” é associativa.

Passo 6

Procuramos 0_V\in V tal que u\oplus 0_V = u para todo u\in V. Pela definição,
u\oplus 0_V = u\cdot 0_V = u.
Isto exige 0_V=1 (o elemento neutro multiplicativo dos reais). Verificar que 1\in V: 1>0. Então o elemento nulo do espaço vetorial (ou “vetor zero”) é 1. Em outras palavras, o zero vetorial aqui é 1.

Passo 7

Para cada u\in V precisamos de v\in V tal que u\oplus v = 0_V. Usando 0_V=1,
u\oplus v = u\cdot v = 1 \quad\Rightarrow\quad v=\frac{1}{u}=u^{-1}.
Como u>0 implica u^{-1}>0, temos v\in V. Logo o inverso aditivo de u é u^{-1}. Observação: isto mostra também que u^{-1} pertence a V.

Passo 8

Preciso mostrar que \alpha\cdot u\in V para todo \alpha\in\mathscr{R} e u\in V. Pela definição,
\alpha\cdot u = u^{\alpha}.
Como u>0, a potência real u^{\alpha} está bem definida e é positiva. Uma justificativa rápida: u^{\alpha}=e^{\alpha\ln u} (aqui \ln u existe pois u>0), e a exponencial de um número real é sempre >0. Portanto u^{\alpha}>0 e \alpha\cdot u\in V.

Passo 9

Mostrar que (\alpha\beta)\cdot u = \alpha\cdot(\beta\cdot u). Calcula-se:
(\alpha\beta)\cdot u = u^{\alpha\beta}.
Por outro lado,
\alpha\cdot(\beta\cdot u) = \alpha\cdot(u^{\beta}) = (u^{\beta})^{\alpha} = u^{\beta\alpha} = u^{\alpha\beta}.
Aqui usei a propriedade de potências (x^{a})^{b} = x^{ab}, válida para x>0 e a,b\in\mathscr{R}. Assim a propriedade vale.

Passo 10

Mostrar que 1\cdot u = u. Pela definição,
1\cdot u = u^{1} = u.
Portanto o escalar 1 age como identidade, conforme exigido.

Passo 11

Provar que \alpha\cdot(u\oplus v) = (\alpha\cdot u)\oplus(\alpha\cdot v). Calculando:
\alpha\cdot(u\oplus v) = \alpha\cdot(u\cdot v) = (u\cdot v)^{\alpha}.
E
(\alpha\cdot u)\oplus(\alpha\cdot v) = u^{\alpha}\oplus v^{\alpha} = u^{\alpha}\cdot v^{\alpha}.
Usando a identidade de potências (xy)^{\alpha}=x^{\alpha}y^{\alpha}, válida para x,y>0 e \alpha\in\mathscr{R} (novamente justificável por (xy)^{\alpha}=e^{\alpha(\ln x+\ln y)}), obtemos
(u\cdot v)^{\alpha} = u^{\alpha}v^{\alpha},
logo a distributividade se mantém.

Passo 12

Provar que (\alpha+\beta)\cdot u = (\alpha\cdot u)\oplus(\beta\cdot u). Calculando:
(\alpha+\beta)\cdot u = u^{\alpha+\beta} = u^{\alpha}u^{\beta},
e
(\alpha\cdot u)\oplus(\beta\cdot u) = u^{\alpha}\oplus u^{\beta} = u^{\alpha}\cdot u^{\beta}.
A igualdade u^{\alpha+\beta}=u^{\alpha}u^{\beta} é a regra de potências e vale para u>0 e \alpha,\beta\in\mathscr{R}. Assim a propriedade é satisfeita.

Passo 13

É comum checar também as propriedades que se derivam: por exemplo 0\cdot u = 0_V. Aqui,
0\cdot u = u^{0} = 1 = 0_V,
e
\alpha\cdot 0_V = \alpha\cdot 1 = 1^{\alpha} = 1 = 0_V.
Essas igualdades conferem coerência com as propriedades usuais de espaços vetoriais (o “vetor zero” sendo 1 no nosso caso).

Passo 14

Verificamos todas as propriedades necessárias: fecho das operações, comutatividade e associatividade da “adição” (multiplicação usual), existência de elemento neutro 0_V=1 e inversos u^{-1}, fecho da multiplicação por escalar (potências de base positiva), distributividades e compatibilidade de escalares. Cada passo usou apenas propriedades elementares da multiplicação e das potências para bases positivas (justificáveis via logaritmo/exponencial quando necessário). Então todas as hipóteses de definição de espaço vetorial sobre \mathscr{R} são satisfeitas.
Força aí — essa construção é um exemplo clássico (os positivos com essas operações formam um espaço vetorial “isomorfo” ao espaço dos números reais via logaritmo), então você já está vendo a conexão: \ln transforma produto em soma e potência em multiplicação escalar. Mas isso é só uma nota extra — a prova acima é direta e suficiente.

Resposta

O conjunto V=\{u\in\mathscr{R}\mid u>0\} com u\oplus v = u\cdot v e \alpha\cdot u = u^{\alpha} é um espaço vetorial sobre \mathscr{R}.

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