- Seja
. Suponhamos que consideremos a “adição” em V como sendo a multiplicação USUAL de números reais positivos, isto é,
e que a multiplicação de um elemento de
por um número real seja dada por:
Mostre, então, que o conjunto V, assim estruturado, se torna um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
(os números reais positivos) e duas operações:
- “adição” em
definida por
- multiplicação por escalar (onde o escalar é um real) definida por
O que se pede: mostrar que, com essas operações,
é um espaço vetorial sobre
.
Isto significa que preciso verificar (e explicar) todos os axiomas de espaço vetorial para quaisquer e quaisquer escalares
.
Isto significa que preciso verificar (e explicar) todos os axiomas de espaço vetorial para quaisquer
Passo 2
Primeiro lembrando, de forma simples e calma, o que cada símbolo significa:
-
são vetores (aqui: números reais positivos); -
são escalares (aqui: números reais); -
é a “adição vetorial” dada por multiplicação usual; -
é a multiplicação por escalar dada por elevar à potência .
Vou checar, um a um, os axiomas padrão (fecho, comutatividade, associatividade da adição; elemento zero; inverso aditivo; fecho da multiplicação por escalar; propriedades de distributividade e compatibilidade de escalares; identidade escalar). Em cada verificação vou explicar por que as igualdades usadas são válidas (sempre lembrando que
garante que potências reais estão bem definidas).
Passo 3
Queremos mostrar que
quando
. Aplicando a definição:
Como
e
, o produto
é também
. Logo
.
Comentários: este é o fecho da operação de adição no sentido vetorial — multiplicar dois positivos dá positivo.
Comentários: este é o fecho da operação de adição no sentido vetorial — multiplicar dois positivos dá positivo.
Passo 4
Preciso mostrar que
. Pela definição,
pois a multiplicação usual de reais é comutativa. Portanto a “adição” é comutativa.
Passo 5
Mostrar que
. Calculando ambos os lados:
e
Como a multiplicação usual é associativa,
. Assim a “adição” é associativa.
Passo 6
Procuramos
tal que
para todo
. Pela definição,
Isto exige
(o elemento neutro multiplicativo dos reais). Verificar que
:
. Então o elemento nulo do espaço vetorial (ou “vetor zero”) é
. Em outras palavras, o zero vetorial aqui é
.
Passo 7
Para cada
precisamos de
tal que
. Usando
,
Como
implica
, temos
. Logo o inverso aditivo de
é
. Observação: isto mostra também que
pertence a
.
Passo 8
Preciso mostrar que
para todo
e
. Pela definição,
Como
, a potência real
está bem definida e é positiva. Uma justificativa rápida:
(aqui
existe pois
), e a exponencial de um número real é sempre
. Portanto
e
.
Passo 9
Mostrar que
. Calcula-se:
Por outro lado,
Aqui usei a propriedade de potências
, válida para
e
. Assim a propriedade vale.
Passo 10
Mostrar que
. Pela definição,
Portanto o escalar
age como identidade, conforme exigido.
Passo 11
Provar que
. Calculando:
E
Usando a identidade de potências
, válida para
e
(novamente justificável por
), obtemos
logo a distributividade se mantém.
Passo 12
Provar que
. Calculando:
e
A igualdade
é a regra de potências e vale para
e
. Assim a propriedade é satisfeita.
Passo 13
É comum checar também as propriedades que se derivam: por exemplo
. Aqui,
e
Essas igualdades conferem coerência com as propriedades usuais de espaços vetoriais (o “vetor zero” sendo
no nosso caso).
Passo 14
Verificamos todas as propriedades necessárias: fecho das operações, comutatividade e associatividade da “adição” (multiplicação usual), existência de elemento neutro
e inversos
, fecho da multiplicação por escalar (potências de base positiva), distributividades e compatibilidade de escalares. Cada passo usou apenas propriedades elementares da multiplicação e das potências para bases positivas (justificáveis via logaritmo/exponencial quando necessário). Então todas as hipóteses de definição de espaço vetorial sobre
são satisfeitas.
Força aí — essa construção é um exemplo clássico (os positivos com essas operações formam um espaço vetorial “isomorfo” ao espaço dos números reais via logaritmo), então você já está vendo a conexão:
transforma produto em soma e potência em multiplicação escalar. Mas isso é só uma nota extra — a prova acima é direta e suficiente.
Resposta
O conjunto
com
e
é um espaço vetorial sobre
.