Considere A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -4 & 0 \\\\ 3 & 6 & 5 \\\\ -2 & 1 & 4\end{array}\right). Calcule \operatorname{det} B, onde B é a matriz obtida a partir de A
somando-se -\pi vezes a linha 1 à linha 2 .

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 0\\\\ 3 & 6 & 5\\\\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix}
e define B como a matriz obtida de A somando-se a linha 2 menos \pi vezes a linha 1. O conteúdo aqui é determinante de matriz e o efeito de operações elementares em linhas.

Passo 2

Sabemos que ao substituir uma linha por ela mesma mais um múltiplo de outra linha (linha 2 \to linha 2 -\pi,×,linha 1) o determinante não se altera. Logo,
\det B = \det A.

Passo 3

Basta calcular \det A. Vamos usar expansão pela primeira linha:
\det A =2\cdot\det\begin{pmatrix}6&5\\\ 1&4\end{pmatrix} -(-4)\cdot\det\begin{pmatrix}3&5\\\ -2&4\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).

Passo 4

Calculemos cada determinante 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}6&5\\\ 1&4\end{pmatrix} =6\cdot4-5\cdot1=24-5=19,
\det\begin{pmatrix}3&5\\\ -2&4\end{pmatrix} =3\cdot4-5\cdot(-2)=12+10=22.
Substituindo em \det A:
\det A =2\cdot19 +4\cdot22 =38 +88 =126.

Resposta

\det B = 126

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