Considere A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -4 & 0 \\\\ 3 & 6 & 5 \\\\ -2 & 1 & 4\end{array}\right). Calcule \operatorname{det} B, onde B é a matriz obtida a partir de A
somando-se -\pi vezes a linha 1 à linha 2 .

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 0\\\\ 3 & 6 & 5\\\\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix}
e define B obtida ao somar -\pi vezes a linha 1 à linha 2 de A. Precisamos de propriedades de determinantes e cálculo de determinante de matriz 3\times3.

Passo 2

A operação “linha 2 \leftarrow linha 2+ (,-\pi) \times linha 1” é uma operação elementar do tipo III, que não altera o determinante. Logo,
\det(B)=\det(A).

Passo 3

Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha. Seja
M_{11}=\begin{pmatrix}6&5\\\ 1&4\end{pmatrix}, \quad M_{12}=\begin{pmatrix}3&5\\\ -2&4\end{pmatrix}.
Então
\det(M_{11})=6\cdot4-5\cdot1=24-5=19, \quad \det(M_{12})=3\cdot4-5\cdot(-2)=12+10=22.
E
\det(A) =2\cdot\det(M_{11})-(-4)\cdot\det(M_{12})+0 =2\cdot19+4\cdot22 =38+88 =126.

Resposta

\det(B)=126

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