Q8: Considere A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -2 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]. Calcule B=A^{-1}.
O valor de b_{11} é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 \\[4pt] 1 & 2 & 0 \\[4pt] 1 & 2 & 1\end{pmatrix}
e pede para calcular B=A^{-1}. A pergunta específica é: qual é o valor de b_{11}, isto é, o elemento da primeira linha e primeira coluna de B. As alternativas são (A)\\\ 2,\\ (B)\\\ 3,\\ \text{(C)}\\\ 4,\\ (D)\\\ 5,\\ (E)\\ \text{Não sei}.ã]

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss–Jordan na matriz aumentada [A\mid I]. Explicação curta e didática do método:
  • Para encontrar A^{-1} montamos a matriz aumentada [A\mid I], onde I é a matriz identidade de ordem 3.
  • Aplicamos operações elementares por linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, e somar múltiplos de uma linha a outra) até transformar a parte esquerda em I. As mesmas operações transformam a parte direita em A^{-1}.
  • Essas operações são permitidas porque correspondem a multiplicar à esquerda por matrizes elementares inversíveis; ao final obtemos [I\mid A^{-1}].

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô a_{11}=1. Faço
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculando linha a linha:
  • R_2-R_1=(0,\;1,\;2\mid -1,\;1,\;0).
  • R_3-R_1=(0,\;1,\;3\mid -1,\;0,\;1).
    Assim a matriz fica
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora usamos o pivô 1 na posição (2,2) para eliminar acima e abaixo. Faço
R_3 \leftarrow R_3 - R_2,\qquad R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
Calculando:
  • R_3-R_2=(0,\;0,\;1\mid 0,\;-1,\;1).
  • R_1-R_2=(1,\;0,\;-4\mid 2,\;-1,\;0).
    Resultado:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & -4 & 2 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Pivô final é 1 em (3,3). Elimino os elementos acima na coluna 3:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3,\qquad R_1 \leftarrow R_1 + 4R_3.
Calculando:
  • R_2-2R_3=(0,\;1,\;0\mid -1,\;3,\;-2) porque -1-2\cdot0=-1,\;1-2\cdot(-1)=3,\;0-2\cdot1=-2.
  • R_1+4R_3=(1,\;0,\;0\mid 2,\;-5,\;4) porque 2+4\cdot0=2,\;-1+4\cdot(-1)=-5,\;0+4\cdot1=4.
    Agora a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 2 & -5 & 4 \\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 3 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Como a parte esquerda é a identidade, a parte direita é A^{-1}. Portanto
B=A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -5 & 4 \\[4pt] -1 & 3 & -2 \\[4pt] 0 & -1 & 1\end{pmatrix}.
Assim b_{11}=2.]

Resposta

(A) 2

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