Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado fornece o vetor
e o subespaço
Pede-se calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e em particular determinar o valor da terceira entrada
de
. As opções possíveis são
,
,
,
,
,
.
Passo 2
Pensamento geométrico (explicação do método): o hiperplano
é definido pela equação linear
. O vetor normal a
é
ou seja,
. A projeção ortogonal de
sobre
é obtida subtraindo de
a componente de
na direção de
:
Isto costuma ser mais fácil porque
tem dimensão
, então
é simplesmente um escalar multiplicando
, calculável por produto interno.
Passo 3
Relembre a fórmula da projeção de
sobre o vetor
:
Aqui
é o produto interno usual em
(soma dos produtos das componentes) e
é o quadrado da norma de
.
Passo 4
Calcule o produto interno
. Usando
e
,
Agora as contas:
Somando:
Passo 5
Calcule
(soma dos quadrados das componentes de
):
Passo 6
Forme o escalar da projeção:
Passo 7
Calcule a projeção de
sobre
:
Passo 8
Subtraia essa componente de
para obter
:
Calcule componente a componente:
Portanto
Passo 9
A terceira entrada de
é, como calculado,
. Isso faz sentido geometricamente: subtraímos a componente na direção de
, ficando com a parte de
que está em
.
Resposta
(A) 1