Q12: Sejam \vec{v}=(-9,0,-1,-4) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-3 y+2 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado fornece o vetor \vec{v}=(-9,0,-1,-4) e o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-3y+2z+w=0\}.
Pede-se calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e em particular determinar o valor da terceira entrada w_{3} de \vec{w}. As opções possíveis são (A)~1, (B)~2, \text{(C)}~3, (D)~4, (E)~5, (F)~6.

Passo 2

Pensamento geométrico (explicação do método): o hiperplano H é definido pela equação linear x-3y+2z+w=0. O vetor normal a H é
\vec{n}=(1,-3,2,1),
ou seja, H^{\perp}=\mathrm{span}\{\vec{n}\}. A projeção ortogonal de \vec{v} sobre H é obtida subtraindo de \vec{v} a componente de \vec{v} na direção de \vec{n}:
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}.
Isto costuma ser mais fácil porque H^{\perp} tem dimensão 1, então \operatorname{proj}_{H^{\perp}}\vec{v} é simplesmente um escalar multiplicando \vec{n}, calculável por produto interno.

Passo 3

Relembre a fórmula da projeção de \vec{v} sobre o vetor \vec{n}:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto interno usual em \mathbb{R}^{4} (soma dos produtos das componentes) e \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}.

Passo 4

Calcule o produto interno \vec{v}\cdot\vec{n}. Usando \vec{v}=(-9,0,-1,-4) e \vec{n}=(1,-3,2,1),
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-9)\cdot 1 + 0\cdot(-3) + (-1)\cdot 2 + (-4)\cdot 1.
Agora as contas:
(-9)\cdot 1 = -9,\qquad 0\cdot(-3)=0,\qquad (-1)\cdot 2 = -2,\qquad (-4)\cdot 1 = -4.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n} = -9 + 0 -2 -4 = -15.

Passo 5

Calcule \vec{n}\cdot\vec{n} (soma dos quadrados das componentes de \vec{n}):
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^{2}+(-3)^{2}+2^{2}+1^{2}=1+9+4+1=15.

Passo 6

Forme o escalar da projeção:
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{-15}{15}=-1.

Passo 7

Calcule a projeção de \vec{v} sobre \vec{n}:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} = -1\cdot\vec{n} = -1\cdot(1,-3,2,1) = (-1,3,-2,-1).

Passo 8

Subtraia essa componente de \vec{v} para obter \vec{w}:
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=(-9,0,-1,-4)-(-1,3,-2,-1).
Calcule componente a componente:
\begin{aligned} \text{1ª componente: } & -9 - (-1) = -9+1 = -8,\\\ \text{2ª componente: } & 0 - 3 = -3,\\\ \text{3ª componente: } & -1 - (-2) = -1+2 = 1,\\\ \text{4ª componente: } & -4 - (-1) = -4+1 = -3. \end{aligned}ªªªª
Portanto
\vec{w}=(-8,-3,1,-3).

Passo 9

A terceira entrada de \vec{w} é, como calculado, w_{3}=1. Isso faz sentido geometricamente: subtraímos a componente na direção de \vec{n}, ficando com a parte de \vec{v} que está em H.

Resposta

(A) 1

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