Considere (m)_{2}=11 \cdots 11. Escreva m^{2} em base 2.

Passo 1

O enunciado dá que o número m escrito em base 2 é uma sequência de uns: (m)_2 = 11\cdots11.
Pergunta: escrever m^2 em base 2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A representação binária de m contém apenas algarismos 1, repetidos um certo número de vezes.
  • Seja n o número de uns nessa representação (ou seja, m tem n dígitos binários, todos iguais a 1).
  • Objetivo: expressar a representação binária de m^2 em função de n.

Passo 2

Converter a descrição “cadeia de n uns em base 2” em fórmula numérica. A soma dos bits vale
m = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}.
Isso é uma progressão geométrica de razão 2. A fórmula da soma de n termos da progressão geométrica dá
m = \frac{2^{n}-1}{2-1} = 2^{n}-1.
Explicando devagar: cada termo 2^k corresponde ao bit 1 na posição k (contando do menos significativo, k=0), e somando de k=0 até k=n-1 obtemos exatamente 2^{n}-1.

Passo 3

Calcular m^2 usando a expressão encontrada:
m^2 = (2^{n}-1)^2 = 2^{2n} - 2\cdot 2^{n} + 1 = 2^{2n} - 2^{\,n+1} + 1.
Cada termo tem interpretação em potências de 2 (bits) — a tarefa agora é identificar qual string de bits corresponde a esse valor.

Passo 4

Propor uma forma candidata para a escrita binária de m^2: a sequência formada por (n-1) uns no topo, seguida de n zeros, seguida de um 1 no bit menos significativo. Em notação:
\underbrace{11\cdots1}_{n-1}\underbrace{00\cdots0}_{n}1.
Vamos mostrar que esse número binário tem valor igual a 2^{2n}-2^{\,n+1}+1.
O valor do bloco superior de (n-1) uns, ocupando as posições de 2n-1 até n+1, é
\sum_{k=n+1}^{2n-1} 2^{k}.
Somando esse bloco com o +1 do bit menos significativo obtemos
\left(\sum_{k=n+1}^{2n-1} 2^{k}\right) + 1.
Calcule a soma geométrica:
\sum_{k=n+1}^{2n-1} 2^{k} = 2^{n+1}\left(1 + 2 + \cdots + 2^{n-2}\right) = 2^{n+1}\left(2^{\,n-1}-1\right).
Portanto o valor total é
2^{n+1}\left(2^{\,n-1}-1\right) + 1 = 2^{2n} - 2^{\,n+1} + 1,
que coincide exatamente com a expressão obtida em \

Passo 5

Verificação por exemplos pequenos (ajuda a fixar a intuição):
  • Para n=1: m=1, m^2=1. A fórmula dá \underbrace{}_{0\,\text{uns}}\underbrace{0}_{1\\ \text{zero}}1, que é simplesmente 1 (leading zero não escrito).
  • Para n=2: m=3=(11)_2, m^2=9=(1001)_2. A fórmula dá 1 (um 1), depois 2 zeros, depois 1: 1\,00\,1.
  • Para n=3: m=7=(111)_2, m^2=49=(110001)_2. A fórmula dá 11 (dois uns), depois 3 zeros, depois 1: 11\,000\,1.
Esses exemplos conferem com a identidade provada.

Resposta

\underbrace{11\cdots1}_{n-1}\underbrace{00\cdots0}_{n}1

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