Considere (m)_{2}=11 \cdots 11. Escreva m^{2} em base 2.
Passo 1
O enunciado dá que o número m escrito em base 2 é uma sequência de uns: (m)_2 = 11\cdots11.
Pergunta: escrever m^2 em base 2.
Informações relevantes fornecidas:
A representação binária de m contém apenas algarismos 1, repetidos um certo número de vezes.
Seja n o número de uns nessa representação (ou seja, m tem n dígitos binários, todos iguais a 1).
Objetivo: expressar a representação binária de m^2 em função de n.
Passo 2
Converter a descrição “cadeia de n uns em base 2” em fórmula numérica. A soma dos bits vale
m = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}.
Isso é uma progressão geométrica de razão 2. A fórmula da soma de n termos da progressão geométrica dá
m = \frac{2^{n}-1}{2-1} = 2^{n}-1.
Explicando devagar: cada termo 2^k corresponde ao bit 1 na posição k (contando do menos significativo, k=0), e somando de k=0 até k=n-1 obtemos exatamente 2^{n}-1.
Cada termo tem interpretação em potências de 2 (bits) — a tarefa agora é identificar qual string de bits corresponde a esse valor.
Passo 4
Propor uma forma candidata para a escrita binária de m^2: a sequência formada por (n-1) uns no topo, seguida de n zeros, seguida de um 1 no bit menos significativo. Em notação: