O número 100^{25}-25 está representado na base decimal. Determinar a soma dos seus dígitos.

Passo 1

O enunciado dá o número 100^{25}-25 escrito na base decimal e pede a soma dos seus dígitos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O número a analisar é 100^{25}-25.
  • A representação está na base decimal (base 10).
  • A pergunta é: qual é a soma dos dígitos de 100^{25}-25?

Passo 2

Primeiro reescrevo 100^{25} em potências de 10, que é mais conveniente na base decimal:
100^{25} = (10^2)^{25} = 10^{50}.
Explicação didática: (10^2)^{25}=10^{2\cdot25}=10^{50}. O número 10^{50} é o inteiro que tem um 1 seguido de 50 zeros na base decimal.

Passo 3

Agora vou transformar o problema em uma forma que mostre claramente os dígitos. Para um inteiro n\ge 2 vale a identidade
10^{n}-25 = 10^{n-2}\cdot 100 - 25.
Faço a rearrumação
10^{n}-25 = \bigl(10^{n-2}-1\bigr)\cdot 100 + (100-25).
Porque 10^{n-2}\cdot100 = (10^{n-2}-1)\cdot100 + 100. Como 100-25=75, obtemos
10^{n}-25 = \bigl(10^{n-2}-1\bigr)\cdot 100 + 75.
Explicação didática do que isso significa em termos de dígitos:
  • O número 10^{m}-1 (com m inteiro positivo) é exatamente o inteiro formado por m algarismos 9. Por exemplo, 10^3-1=999. Logo \,10^{n-2}-1 tem n-2 dígitos todos iguais a 9.
  • Multiplicar esse número por 100 apenas acrescenta dois zeros à direita, ou seja, escreve-se n-2 noves seguidos de dois zeros.
  • Somando 75 a isso substitui esses dois zeros finais por 75, sem afetar os noves à esquerda.
Portanto, a representação decimal de 10^{n}-25 é: n-2 dígitos 9 seguidos pelos dígitos 7 e 5.

Passo 4

Aplicando o resultado ao nosso caso, com n=50:
  • A representação decimal de 10^{50}-25 é formada por 50-2=48 dígitos 9 seguidos de 7 e 5. Ou seja, o número é
\underbrace{99\ldots9}_{48\text{ vezes}}75.

Passo 5

Agora calculo a soma dos dígitos: são 48 algarismos 9, mais 7 e 5. Então
\text{soma dos dígitos} = 9\cdot 48 + 7 + 5.í
Faço a conta passo a passo:
9\cdot 48 = 9\cdot (50-2) = 450 - 18 = 432,
então
432 + 7 + 5 = 432 + 12 = 444.

Passo 6

(Pequena verificação de consistência) Para n=4 a fórmula dá 10^4-25=9975, soma dos dígitos 9+9+7+5=30. Usando a fórmula: 9\cdot(4-2)+7+5=9\cdot2+12=30. Compatível — o padrão funciona.
Força aí — você já tem a técnica para esse tipo de problema: transformar potências de 100 em potências de 10 e usar a identidade acima para ver diretamente os dígitos.

Resposta

444

Exercícios relacionados