Considere, em \mathbb{R}^{3} os seguintes subespaços vetoriais:
W_{1}=\{(x, y, z): x-2 y=0\}, W_{2}=\{(x, y, z): x+z=0 e x-2 y=0\},
W_{3}=\{(x, y, z): x+2 y-3 z=0\}, W_{4}=[(1,0,0),(1,1,1)] e W_{5}=[(0,1,0),(0,0,1)].
Encontre um conjunto de geradores de:
W_{1}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-2y=0\}.
O conteúdo aqui é parametrizar um subespaço de \mathbb{R}^3 definido por uma equação linear e obter uma base ou conjunto gerador a partir dessa parametrização.

Passo 2

Como x-2y=0, temos x=2y. Podemos usar y e z como parâmetros livres. Seja
y=s,\quad z=t,\quad s,t\in\mathbb{R},
então
(x,y,z)=(2s,s,t)=s\,(2,1,0)+t\,(0,0,1).
Isso mostra que todo vetor de W_{1} é combinação linear de (2,1,0) e (0,0,1). Portanto,
W_{1}=\mathrm{span}\{(2,1,0),(0,0,1)\}.

Resposta

Um conjunto de geradores de W_{1} é
\{(2,1,0),\,(0,0,1)\}.

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