Verifique se S=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)\right\} gera M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = \left\{ \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix} \right\}
gera o espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}). Vamos usar conceitos de combinação linear e dimensão de espaço vetorial.]

Passo 2

Denotemos
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Considere uma combinação linear genérica
X = \alpha A + \beta B + \gamma C + \delta D,\quad \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}.
Calculando as parcelas, temos
\alpha A = \begin{pmatrix}\alpha & 0\\\ 0 & \alpha\end{pmatrix},\quad \beta B = \begin{pmatrix}0 & \beta\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad \gamma C = \begin{pmatrix}0 & 0\\gamma & 0\end{pmatrix},\quad \delta D = \begin{pmatrix}0 & \delta\\delta & 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Somando essas matrizes, obtemos
X = \begin{pmatrix} \alpha & 0\\[3pt]0 & \alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & \beta\\[3pt]0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\[3pt]\gamma & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & \delta\\[3pt]\delta & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta + \delta\\[3pt] \gamma + \delta & \alpha \end{pmatrix}.
Note que, independentemente de \alpha,\beta,\gamma,\delta, a matriz gerada tem sempre coordenadas diagonais iguais: X_{11}=X_{22}=\alpha.]

Passo 4

Para que S gerasse todo M_{2}(\mathbb{R}), deveríamos conseguir produzir, por exemplo,
E = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
cujo E_{11}=1 e E_{22}=0. Mas em qualquer combinação de S os elementos diagonais são iguais, logo não há escolha de \alpha,\beta,\gamma,\delta que produza E. Portanto não conseguimos gerar todas as matrizes de M_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

O conjunto S não gera M_{2}(\mathbb{R}).

Exercícios relacionados