Considere, em \mathbb{R}^{3} os seguintes subespaços vetoriais:
W_{1}=\{(x, y, z): x-2 y=0\}, W_{2}=\{(x, y, z): x+z=0 e x-2 y=0\},
W_{3}=\{(x, y, z): x+2 y-3 z=0\}, W_{4}=[(1,0,0),(1,1,1)] e W_{5}=[(0,1,0),(0,0,1)].
Encontre um conjunto de geradores de:
W_{2}

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W_{2} = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3} : x-2y=0 \text{ e } x+z=0\}.
Para gerar W_{2} precisamos resolver esse sistema homogêneo de duas equações lineares em (x,y,z) e escrever a solução em forma paramétrica.

Passo 2

Escrevemos as equações:
\begin{cases} x - 2y = 0,\\\ x + z = 0. \end{cases}
Da primeira vem x = 2y. Substituindo na segunda:
2y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -2y.

Passo 3

Como y é livre, colocamos y = t. Assim
(x,y,z) = (2t,\,t,\,-2t) = t\,(2,1,-2).
Logo todo vetor de W_{2} é um múltiplo de (2,1,-2).

Resposta

Um conjunto de geradores de W_{2} é \{(2,1,-2)\}.

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