Considere mathcal{L}(y)(s)=Y(s). Determine y(t) :
Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace \mathcal{L}(y)(s)=Y(s) igual a
Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}.
A pergunta é: determine y(t), isto é, encontre a função do tempo cuja transformada de Laplace é Y(s).
Informações relevantes que temos:
  • O numerador é o número 3.
  • O denominador é produto de dois fatores lineares/quadráticos: (s-1) e \left(s^{2}+4\right).
  • Não há mais dados (condições iniciais explícitas) — apenas a transformada Y(s).

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): para inverter uma transformada de Laplace racionais como essa, o caminho mais prático é decompor Y(s) em frações parciais. Por que isso funciona? Porque temos tabelas conhecidas de transformadas inversas simples, por exemplo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{at},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\right\}(t)=\cos(\omega t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\right\}(t)=\sin(\omega t).
Então, se escrevemos Y(s) como soma de termos do tipo \dfrac{A}{s-1} e \dfrac{Bs+C}{s^{2}+4}, conseguimos inverter cada parcela usando essas fórmulas. Agora vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais. Assumimos a forma
\frac{3}{(s-1)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s^{2}+4) obtemos a identidade (polinomial)
3 = A\bigl(s^{2}+4\bigr) + (Bs+C)(s-1).
Agora vamos expandir o lado direito e agrupar termos em potências de s.

Passo 4

Expandindo e agrupando:
A(s^{2}+4) + (Bs+C)(s-1) = A s^{2} + 4A + B s^{2} - B s + C s - C.
Agrupando por potências de s:
(A+B)s^{2} + (-B+C)s + (4A - C).
Essa expressão deve ser igual ao polinômio constante 3, que é 0\cdot s^{2} + 0\cdot s + 3. Assim obtemos o sistema de equações para A,B,C:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] -B + C = 0,\\[4pt] 4A - C = 3. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para A,B,C. Da primeira equação vem
B = -A.
Da segunda equação vem
C = B = -A?
Cuidado: a segunda equação é -B + C = 0, então C = B. Substituindo B=-A obtemos
C = -A.
Agora substituímos em 4A - C = 3:
4A - (-A) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{3}{5}.
Com isso,
B = -A = -\frac{3}{5},\qquad C = -A = -\frac{3}{5}.

Passo 6

Reescrevendo a decomposição com os valores encontrados:
\frac{3}{(s-1)(s^{2}+4)} = \frac{3/5}{s-1} + \frac{-\tfrac{3}{5}s - \tfrac{3}{5}}{s^{2}+4}.
Podemos fatorar -\tfrac{3}{5} no segundo termo:
\frac{3}{(s-1)(s^{2}+4)} = \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1} - \frac{3}{5}\cdot\frac{s+1}{s^{2}+4}.
Para inverter facilmente, separamos ainda:
\frac{s+1}{s^{2}+4}=\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{1}{s^{2}+4}.

Passo 7

Aplicar as transformadas inversas conhecidas termo a termo.
  1. Para o primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1}\right\}(t)=\frac{3}{5}e^{t},
pois \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-1)\}=e^{t}.
  1. Para o segundo termo, temos o fator -\dfrac{3}{5} multiplicando duas parcelas:
-\frac{3}{5}\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+4}\right\}(t)\qquad\text{e}\qquad -\frac{3}{5}\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}(t).
Usando as fórmulas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+4}\right\}(t)=\cos(2t),
porque aqui \omega=2 (pois s^{2}+4=s^{2}+\omega^{2} com \omega^{2}=4\Rightarrow\omega=2).
E
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}(t)=\frac{1}{2}\sin(2t),
já que \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}, então \dfrac{1}{s^{2}+4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{s^{2}+4} corresponde a \dfrac{1}{2}\sin(2t).
Portanto as duas inversas juntas dão:
-\frac{3}{5}\cos(2t) - \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t) = -\frac{3}{5}\cos(2t) - \frac{3}{10}\sin(2t).

Passo 8

Somando os termos obtidos:
y(t)=\frac{3}{5}e^{t} - \frac{3}{5}\cos(2t) - \frac{3}{10}\sin(2t).
Pronto — essa é a função no tempo cuja transformada de Laplace é Y(s).

Resposta

y(t)=\dfrac{3}{5}e^{t}-\dfrac{3}{5}\cos(2t)-\dfrac{3}{10}\sin(2t)

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