O enunciado dá a transformada de Laplace \mathcal{L}(y)(s)=Y(s) igual a
Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}.
A pergunta é: determine y(t), isto é, encontre a função do tempo cuja transformada de Laplace é Y(s).
Informações relevantes que temos:
O numerador é o número 3.
O denominador é produto de dois fatores lineares/quadráticos: (s-1) e \left(s^{2}+4\right).
Não há mais dados (condições iniciais explícitas) — apenas a transformada Y(s).
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática): para inverter uma transformada de Laplace racionais como essa, o caminho mais prático é decompor Y(s) em frações parciais. Por que isso funciona? Porque temos tabelas conhecidas de transformadas inversas simples, por exemplo:
Então, se escrevemos Y(s) como soma de termos do tipo \dfrac{A}{s-1} e \dfrac{Bs+C}{s^{2}+4}, conseguimos inverter cada parcela usando essas fórmulas. Agora vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais. Assumimos a forma
já que \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}, então \dfrac{1}{s^{2}+4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{s^{2}+4} corresponde a \dfrac{1}{2}\sin(2t).