Seja F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
F(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+1}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Há um fator de atraso/exponencial e^{-\pi s}.
  • O núcleo sem atraso é \dfrac{1}{s^{2}+1}.
    A tarefa é encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).

Passo 2

Primeiro revejo a transformada direta que vamos precisar: a transformada de Laplace de \sin t. É um par muito comum e útil:
\mathcal{L}\{\sin t\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin t\,dt=\frac{1}{s^{2}+1},\qquad s>0.
Explicando por que isso é verdade (jeito rápido e claro): use a representação por exponenciais complexas \sin t=\dfrac{e^{it}-e^{-it}}{2i}. Como \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} para \Re(s)>\Re(a), temos
\mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{s-i}-\frac{1}{s+i}\right) =\frac{1}{2i}\left(\frac{(s+i)-(s-i)}{s^{2}+1}\right)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Ou, se preferir fazer por integrais e partes, dá o mesmo resultado; o importante é memorizar o par:
\mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 3

Agora lembro a propriedade de deslocamento no tempo (teorema do retardo, também chamado segunda propriedade de deslocamento):
seja F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Então, para a>0,
\mathcal{L}\{u(t-a)\,f(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário (Heaviside) que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a. Explico por que: calcular a transformada de \,u(t-a)f(t-a)\,
\int_{0}^{\infty}e^{-st}u(t-a)f(t-a)\,dt=\int_{a}^{\infty}e^{-st}f(t-a)\,dt.
Fazendo a troca de variável \tau=t-a obtém-se
\int_{0}^{\infty}e^{-s(\tau+a)}f(\tau)\,d\tau=e^{-as}\int_{0}^{\infty}e^{-s\tau}f(\tau)\,d\tau=e^{-as}F(s).
Ou seja, multiplicar por e^{-as} no domínio de s corresponde a atrasar a função no tempo e “ligá‑la” a partir de t=a.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso: temos um fator e^{-\pi s} multiplicando \dfrac{1}{s^{2}+1}. Comparando com a propriedade, escolhemos a=\pi e a função base cujo transformada é \dfrac{1}{s^{2}+1} é f_{0}(t)=\sin t (do Passo 2). Portanto a transformada inversa é
f(t)=u(t-\pi)\,\sin(t-\pi).
Interpretação prática: a função vale 0 para t<\pi e, a partir de t=\pi, passa a seguir o perfil \sin(t-\pi).

Passo 5

Podemos também simplificar usando identidade trigonométrica. Como
\sin(t-\pi)=\sin t\cos\pi-\cos t\sin\pi=-\sin t,
temos a forma alternativa
f(t)=-\,u(t-\pi)\sin t,
que significa a mesma coisa (lembre: a igualdade vale para todos t, então é uma forma válida). Para ver que está certo, é só tomar a transformada de Laplace de u(t-\pi)\sin(t-\pi): pela propriedade do Passo 3 obtemos e^{-\pi s}\cdot\mathcal{L}\{\sin t\}=e^{-\pi s}/(s^{2}+1), que é exatamente F(s).

Resposta

f(t)=u(t-\pi)\sin(t-\pi)

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