Seja
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
;
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
Informações dadas que vamos usar:
- Há um fator de atraso/exponencial
. - O núcleo sem atraso é
.
A tarefa é encontrartal que .
Passo 2
Primeiro revejo a transformada direta que vamos precisar: a transformada de Laplace de
. É um par muito comum e útil:
Explicando por que isso é verdade (jeito rápido e claro): use a representação por exponenciais complexas
. Como
para
, temos
Ou, se preferir fazer por integrais e partes, dá o mesmo resultado; o importante é memorizar o par:
Passo 3
Agora lembro a propriedade de deslocamento no tempo (teorema do retardo, também chamado segunda propriedade de deslocamento):
seja . Então, para
,
seja
onde
é a função degrau unitário (Heaviside) que vale
para
e
para
. Explico por que: calcular a transformada de
Fazendo a troca de variável
obtém-se
Ou seja, multiplicar por
no domínio de
corresponde a atrasar a função no tempo e “ligá‑la” a partir de
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso: temos um fator
multiplicando
. Comparando com a propriedade, escolhemos
e a função base cujo transformada é
é
(do Passo 2). Portanto a transformada inversa é
Interpretação prática: a função vale
para
e, a partir de
, passa a seguir o perfil
.
Passo 5
Podemos também simplificar usando identidade trigonométrica. Como
temos a forma alternativa
que significa a mesma coisa (lembre: a igualdade vale para todos
, então é uma forma válida). Para ver que está certo, é só tomar a transformada de Laplace de
: pela propriedade do Passo 3 obtemos
, que é exatamente
.