Considere a matrix A=\left[\begin{array}{cc}0.5 & -0.5 \\\\ 0.5 & -0.5 \\\\ 0.5 & 0.5 \\\\ 0.5 & 0.5\end{array}\right]
Mostre que as colunas de A são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0,5 & -0,5\\[4pt] 0,5 & -0,5\\[4pt] 0,5 & 0,5\\[4pt] 0,5 & 0,5 \end{pmatrix}
e pede para mostrar que as colunas de A são ortogonais.
As colunas, que extraí da matriz A, são os vetores
\mathbf{c}_1=\begin{pmatrix}0,5\\[4pt]0,5\\[4pt]0,5\\[4pt]0,5\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad \mathbf{c}_2=\begin{pmatrix}-0,5\\[4pt]-0,5\\[4pt]0,5\\[4pt]0,5\end{pmatrix}.]

Passo 2

Definição útil (aqui uma mini-aula): dois vetores \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n)^T e \mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n)^T em \mathbb{R}^n são ortogonais se, e somente se, o produto escalar (ou produto interno) entre eles for zero. O produto escalar é dado por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} u_i v_i = u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n.
Aqui u_i e v_i são as componentes dos vetores; calcular o produto escalar é só multiplicar cada par de componentes correspondentes e somar.

Passo 3

Vou calcular o produto escalar \mathbf{c}_1\cdot\mathbf{c}_2 passo a passo, multiplicando componente a componente e somando:
\mathbf{c}_1\cdot\mathbf{c}_2 = (0,5)(-0,5) + (0,5)(-0,5) + (0,5)(0,5) + (0,5)(0,5).
Calcule cada termo:
(0,5)(-0,5) = -0,25,\qquad (0,5)(-0,5) = -0,25,
(0,5)(0,5) = 0,25,\qquad (0,5)(0,5) = 0,25.
Somando:
\mathbf{c}_1\cdot\mathbf{c}_2 = -0,25 -0,25 +0,25 +0,25 = 0.

Passo 4

Como o produto escalar \mathbf{c}_1\cdot\mathbf{c}_2 é igual a 0, pelas propriedades do produto escalar isso significa que \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2 são ortogonais. Observação: ambos os vetores são diferentes do vetor nulo, então trata-se de ortogonalidade não-trivial.

Resposta

As colunas de A são ortogonais.

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