Considere a matrix A=\left[\begin{array}{cc}0.5 & -0.5 \\\\ 0.5 & -0.5 \\\\ 0.5 & 0.5 \\\\ 0.5 & 0.5\end{array}\right]
Resolva o problema de quadrados mínimos A x=b para cada um dos seguintes vetores b
  • b=(4,0,0,0)^{T}
  • b=(1,2,3,4)^{T}
  • b=(1,1,2,2)^{T}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0{,}5 & -0{,}5\\[2pt] 0{,}5 & -0{,}5\\[2pt] 0{,}5 & 0{,}5\\[2pt] 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}
e pede para resolver, em sentido de mínimos quadrados, o sistema A x=b para cada um dos vetores b:
b^{(1)}=\begin{pmatrix}4\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\qquad b^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix},\qquad b^{(3)}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos:
  • A é 4\times2 (mais equações que incógnitas), logo em geral o sistema é sobredeterminado e procuramos x que minimize \|Ax-b\|_2.
  • Vamos precisar encontrar a solução de mínimos quadrados para cada b, ou seja, minimizar a norma do resíduo r=Ax-b.]

Passo 2

Que método vamos usar (explicação didática): a solução de mínimos quadrados minimiza \|Ax-b\|_2^2. Tomando derivada (ou exigindo que o resíduo seja ortogonal à coluna-espaço de A) chega-se às equações normais
A^{T}A x = A^{T}b.
Aqui A^{T}A é uma matriz 2\times2. Se A^{T}A for invertível, a solução de mínimos quadrados é única e dada por
x = (A^{T}A)^{-1} A^{T} b.
Uma observação prática muito útil: se as colunas de A são ortogonais e normadas (ortonormais), então A^{T}A=I e a solução simplifica para
x = A^{T} b.
Vamos verificar se este é o caso para a nossa A.

Passo 3

Separe as colunas de A. Seja
a_1=\begin{pmatrix}0{,}5\\\ 0{,}5\\\ 0{,}5\\\ 0{,}5\end{pmatrix},\qquad a_2=\begin{pmatrix}-0{,}5\\\ -0{,}5\\\ 0{,}5\\\ 0{,}5\end{pmatrix}.
Calcule os produtos internos (cada produto interno é uma soma de termos do tipo componente vezes componente):
a_1^{T}a_1 = 0{,}5^{2}+0{,}5^{2}+0{,}5^{2}+0{,}5^{2}=4\cdot 0{,}25=1,
a_2^{T}a_2 = (-0{,}5)^{2}+(-0{,}5)^{2}+0{,}5^{2}+0{,}5^{2}=4\cdot 0{,}25=1,
a_1^{T}a_2 = 0{,}5\cdot(-0{,}5)+0{,}5\cdot(-0{,}5)+0{,}5\cdot0{,}5+0{,}5\cdot0{,}5 =-0{,}25-0{,}25+0{,}25+0{,}25=0.
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix}a_1^{T}a_1 & a_1^{T}a_2\\[2pt] a_2^{T}a_1 & a_2^{T}a_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=I.
Conclusão importante: as colunas de A são ortonormais, logo a solução de mínimos quadrados é simplesmente
x = A^{T} b.]

Passo 4

Vamos escrever explicitamente A^{T}b. Para um b=(b_1,b_2,b_3,b_4)^{T} vale
a_1^{T}b = 0{,}5(b_1+b_2+b_3+b_4),
a_2^{T}b = -0{,}5(b_1+b_2)+0{,}5(b_3+b_4)=0{,}5(-b_1-b_2+b_3+b_4).
Logo, de forma prática,
x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}=A^{T}b= \begin{pmatrix} 0{,}5(b_1+b_2+b_3+b_4)\\[4pt] 0{,}5(-b_1-b_2+b_3+b_4) \end{pmatrix}.
Agora aplique essa fórmula a cada b dado.]

Passo 5

Caso b^{(1)}=(4,0,0,0)^{T}.
Calcule as somas:
b_1+b_2+b_3+b_4 = 4+0+0+0 = 4,
-b_1-b_2+b_3+b_4 = -4-0+0+0 = -4.
Portanto
x^{(1)}=\begin{pmatrix}0{,}5\cdot 4\\[4pt]0{,}5\cdot(-4)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Caso b^{(2)}=(1,2,3,4)^{T}.
Calcule as somas:
b_1+b_2+b_3+b_4 = 1+2+3+4 = 10,
-b_1-b_2+b_3+b_4 = -1-2+3+4 = 4.
Portanto
x^{(2)}=\begin{pmatrix}0{,}5\cdot 10\\[4pt]0{,}5\cdot 4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Caso b^{(3)}=(1,1,2,2)^{T}.
Calcule as somas:
b_1+b_2+b_3+b_4 = 1+1+2+2 = 6,
-b_1-b_2+b_3+b_4 = -1-1+2+2 = 2.
Portanto
x^{(3)}=\begin{pmatrix}0{,}5\cdot 6\\[4pt]0{,}5\cdot 2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (ideia): como x=A^{T}b e A^{T}A=I, tem-se A^{T}(b-Ax)=A^{T}b-A^{T}A x=0, ou seja, o resíduo b-Ax é ortogonal às colunas de A, o que confirma que x é realmente a solução de mínimos quadrados.

Resposta

\displaystyle x^{(1)}=\begin{pmatrix}2\\\ -2\end{pmatrix}
\displaystyle x^{(2)}=\begin{pmatrix}5\\\ 2\end{pmatrix}
\displaystyle x^{(3)}=\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}

Exercícios relacionados