Q1: Considere A uma matriz cujas colunas sīo formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=4 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+7 \vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=3 \vec{a}_{1}+2 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3} e \vec{b}_{3}=2 \vec{a}_{1}+3 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=3, assinale o valor do \operatorname{det}(B) :
(A) -33
(B) -30
(C) -27
(D) -24
(E) -21
(F) -18
(G) -15
(H) -12

Passo 1

O enunciado fornece as colunas de duas matrizes A e B em \mathbb{R}^{3}. As informações relevantes são:
\text{colunas de }A:\\ \vec{a}_{1},\\ \vec{a}_{2},\\ \vec{a}_{3}.
As colunas de B satisfazem
\vec{b}_{1}=4\vec{a}_{1}+7\vec{a}_{2}+7\vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=3\vec{a}_{1}+2\vec{a}_{2}+4\vec{a}_{3},
\vec{b}_{3}=2\vec{a}_{1}+3\vec{a}_{2}+4\vec{a}_{3}.
Além disso sabemos que
\operatorname{det}(A)=3.
A pergunta do enunciado é: qual é o valor de \operatorname{det}(B)? (Fornecer o valor entre as alternativas dadas.)

Passo 2

Vamos organizar os coeficientes que expressam as colunas de B como combinações lineares das colunas de A. Definimos a matriz C cujas colunas são justamente os vetores de coeficientes:
C=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2\\[4pt] 7 & 2 & 3\\[4pt] 7 & 4 & 4 \end{pmatrix},
porque, por coluna,
\text{col}_1\text{(C)}=\begin{pmatrix}4\\\ 7\\\ 7\end{pmatrix},\quad \text{col}_2\text{(C)}=\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix},\quad \text{col}_3\text{(C)}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix},
que correspondem aos coeficientes em \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}.]

Passo 3

Explico por que essa matriz C é útil: multiplicando A por C obtemos exatamente B. De fato, a multiplicação A\cdot C combina as colunas de A usando as colunas de C como coeficientes, logo
B = A\,C.
Isto porque a coluna j de A\,C é 4ª parte \sum_{i=1}^{3} c_{i,j}\vec{a}_i, que coincide com \vec{b}_j conforme dado.

Passo 4

Agora usamos uma propriedade fundamental dos determinantes: para quaisquer matrizes quadradas X e Y de mesma ordem vale
\operatorname{det}(X Y)=\operatorname{det}(X)\operatorname{det}(Y).
Intuição (rápida): o determinante mede o fator de escala de volume de uma transformação linear; compor duas transformações multiplica esses fatores de escala.
Aplicando isso a B=A C obtemos
\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(A\,C)=\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}\text{(C)}.
Como sabemos \operatorname{det}(A)=3, então
\operatorname{det}(B)=3\cdot\operatorname{det}\text{(C)}.

Passo 5

Portanto só falta calcular \operatorname{det}\text{(C)}. Vamos calcular o determinante de
C=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2\\[4pt] 7 & 2 & 3\\[4pt] 7 & 4 & 4 \end{pmatrix}
usando a regra de Sarrus / expansão pela primeira linha (mostrarei detalhadamente).
Expansão pela primeira linha dá:
\operatorname{det}\text{(C)} =4\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]4 & 4\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}7 & 3\\[4pt]7 & 4\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}7 & 2\\[4pt]7 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculemos cada um dos menores 2\times2:
Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]4 & 4\end{pmatrix} =2\cdot4-3\cdot4=8-12=-4.
Multiplicando pelo coeficiente 4 da expansão:
4\cdot(-4)=-16.
Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}7 & 3\\[4pt]7 & 4\end{pmatrix} =7\cdot4-3\cdot7=28-21=7.
Com o sinal e o coeficiente da expansão:
-3\cdot7=-21.
Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}7 & 2\\[4pt]7 & 4\end{pmatrix} =7\cdot4-2\cdot7=28-14=14.
Multiplicando pelo coeficiente 2:
2\cdot14=28.
Somando os termos:
\operatorname{det}\text{(C)} = -16 + (-21) + 28 = -9.]

Passo 7

Agora voltamos à relação \operatorname{det}(B)=3\cdot\operatorname{det}\text{(C)}. Substituindo \operatorname{det}\text{(C)}=-9 obtemos
\operatorname{det}(B)=3\cdot(-9)=-27.
Assim, entre as alternativas fornecidas a correta é a de valor -27. Força aí — já era! Você tem essa.

Resposta

(C) -27

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