A pergunta do enunciado é: qual é o valor de \operatorname{det}(B)? (Fornecer o valor entre as alternativas dadas.)
Passo 2
Vamos organizar os coeficientes que expressam as colunas de B como combinações lineares das colunas de A. Definimos a matriz C cujas colunas são justamente os vetores de coeficientes:
que correspondem aos coeficientes em \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}.]
Passo 3
Explico por que essa matriz C é útil: multiplicando A por C obtemos exatamente B. De fato, a multiplicação A\cdot C combina as colunas de A usando as colunas de C como coeficientes, logo
B = A\,C.
Isto porque a coluna j de A\,C é 4ª parte \sum_{i=1}^{3} c_{i,j}\vec{a}_i, que coincide com \vec{b}_j conforme dado.
Passo 4
Agora usamos uma propriedade fundamental dos determinantes: para quaisquer matrizes quadradas X e Y de mesma ordem vale
Intuição (rápida): o determinante mede o fator de escala de volume de uma transformação linear; compor duas transformações multiplica esses fatores de escala.