Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n com \operatorname{det} A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - O sistema homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} possui in finitas soluções.
II - O núcleo de A é diferente de \{00\}.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz quadrada de ordem n e que \det A = 0. Pede para avaliar a veracidade das duas afirmativas abaixo:
I - O sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} possui infinitas soluções.
II - O núcleo de A é diferente de \{\overrightarrow{0}\}.
Informações relevantes dadas: A é n\times n e \det A=0. Não há mais dados explícitos sobre o corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}), mas vamos trabalhar no caso habitual de um corpo infinito como \mathbb{R} (caso típico em álgebra linear).

Passo 2

Entender a consequência imediata de \det A=0. Há um resultado padrão (vou explicar por que é verdadeiro de forma simples):
  • Se \det A \neq 0 então A é invertível (existe A^{-1}). Isso porque \det(A^{-1}) = 1/\det A, logo \det A não pode ser zero.
  • Portanto, se \det A = 0 então A não é invertível — dizemos que A é singular.
Explicação didática do que significa “singular”: as colunas de A (ou as linhas) são linearmente dependentes quando A é singular. “Linearmente dependentes” quer dizer que existem escalares, não todos nulos, que combinados com as colunas dão o vetor zero. Escrevendo isso em forma matricial, existe \vec{x}\neq\overrightarrow{0} tal que
A\vec{x}=\overrightarrow{0}.
Essa é a chave para a afirmativa II.

Passo 3

Definição e interpretação do núcleo (kernel) e do sistema homogêneo:
  • O núcleo de A é o conjunto
\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
  • O sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} tem exatamente as soluções que estão em \ker(A).
  • Sempre há a solução trivial \vec{x}=\overrightarrow{0}. A questão é se existe solução não-trivial.
Já mostramos no Passo 2 que \det A=0 implica existência de \vec{x}\neq\overrightarrow{0} com A\vec{x}=\overrightarrow{0}. Logo
\ker(A)\neq\{\overrightarrow{0}\},
ou seja, a afirmativa II é verdadeira.

Passo 4

Por que a existência de uma solução não-trivial implica que há infinitas soluções (avaliando a afirmativa I)? Dois argumentos equivalentes e intuitivos:
Argumento via subespaço:
  • \ker(A) é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^n.
  • Se \ker(A) contém um vetor não-nulo, então seu dimensão (nullidade) é pelo menos 1.
  • Um subespaço não-nulo de \mathbb{R}^n (ou de qualquer espaço vetorial sobre um corpo infinito como \mathbb{R}) contém infinitos vetores: por exemplo, se \vec{v}\neq\overrightarrow{0} está em \ker(A), então \lambda\vec{v} está em \ker(A) para todo \lambda\in\mathbb{R}, produzindo infinitas soluções distintas.
Argumento construtivo (mais concreto):
  • Se existe \vec{v}\neq\overrightarrow{0} com A\vec{v}=\overrightarrow{0}, então para qualquer \lambda\in\mathbb{R} temos A(\lambda\vec{v})=\lambda A\vec{v}=\overrightarrow{0}. Como \lambda\vec{v} varia continuamente com \lambda, obtemos infinitas soluções distintas (tomando por exemplo \lambda\in\{0,1,2,\dots\} já temos arbitrariamente muitos; tomando \lambda real obtemos um conjunto infinitamente infinito).
Observação sobre corpos finitos:
  • Se, por exemplo, estivéssemos trabalhando sobre um corpo finito \mathbb{F}_q, o núcleo pode ser finito mesmo quando não-trivial. Mas o enunciado em cursos de graduação normalmente assume \mathbb{R} ou \mathbb{C}. Sob esse entendimento padrão, não-trivialidade do núcleo implica infinitas soluções. Como o enunciado não especificou corpo, e na prática de provas de Álgebra Linear assume-se \mathbb{R} (ou corpo infinito), é legítimo concluir infinitas soluções.

Passo 5

Conclusão lógica das duas afirmativas, juntando os passos anteriores:
  • De \det A=0 deduzimos que existe \vec{x}\neq\overrightarrow{0} com A\vec{x}=\overrightarrow{0}. Portanto a afirmativa II é verdadeira.
  • Como \ker(A) é um subespaço não-trivial sobre um corpo infinito (por exemplo \mathbb{R}), contém infinitas soluções, logo a afirmativa I também é verdadeira.
Portanto ambas as afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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