Q4: Seja
uma matriz quadrada
com
. Considere as afirmativas abaixo:
I - O sistema homogêneo
possui in finitas soluções.
II - O núcleo de
é diferente de
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.
I - O sistema homogêneo
II - O núcleo de
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz quadrada de ordem
e que
. Pede para avaliar a veracidade das duas afirmativas abaixo:
I - O sistema homogêneo possui infinitas soluções.
II - O núcleo de é diferente de
.
I - O sistema homogêneo
II - O núcleo de
Informações relevantes dadas:
é
e
. Não há mais dados explícitos sobre o corpo (por exemplo
ou
), mas vamos trabalhar no caso habitual de um corpo infinito como
(caso típico em álgebra linear).
Passo 2
Entender a consequência imediata de
. Há um resultado padrão (vou explicar por que é verdadeiro de forma simples):
- Se
então é invertível (existe ). Isso porque , logo não pode ser zero. - Portanto, se
então não é invertível — dizemos que é singular.
Explicação didática do que significa “singular”: as colunas de
(ou as linhas) são linearmente dependentes quando
é singular. “Linearmente dependentes” quer dizer que existem escalares, não todos nulos, que combinados com as colunas dão o vetor zero. Escrevendo isso em forma matricial, existe
tal que
Essa é a chave para a afirmativa II.
Passo 3
Definição e interpretação do núcleo (kernel) e do sistema homogêneo:
- O núcleo de
é o conjunto
- O sistema homogêneo
tem exatamente as soluções que estão em . - Sempre há a solução trivial
. A questão é se existe solução não-trivial.
Já mostramos no Passo 2 que
implica existência de
com
. Logo
ou seja, a afirmativa II é verdadeira.
Passo 4
Por que a existência de uma solução não-trivial implica que há infinitas soluções (avaliando a afirmativa I)? Dois argumentos equivalentes e intuitivos:
Argumento via subespaço:
-
é um subespaço vetorial de . - Se
contém um vetor não-nulo, então seu dimensão (nullidade) é pelo menos . - Um subespaço não-nulo de
(ou de qualquer espaço vetorial sobre um corpo infinito como ) contém infinitos vetores: por exemplo, se está em , então está em para todo , produzindo infinitas soluções distintas.
Argumento construtivo (mais concreto):
- Se existe
com , então para qualquer temos . Como varia continuamente com , obtemos infinitas soluções distintas (tomando por exemplo já temos arbitrariamente muitos; tomando real obtemos um conjunto infinitamente infinito).
Observação sobre corpos finitos:
- Se, por exemplo, estivéssemos trabalhando sobre um corpo finito
, o núcleo pode ser finito mesmo quando não-trivial. Mas o enunciado em cursos de graduação normalmente assume ou . Sob esse entendimento padrão, não-trivialidade do núcleo implica infinitas soluções. Como o enunciado não especificou corpo, e na prática de provas de Álgebra Linear assume-se (ou corpo infinito), é legítimo concluir infinitas soluções.
Passo 5
Conclusão lógica das duas afirmativas, juntando os passos anteriores:
- De
deduzimos que existe com . Portanto a afirmativa II é verdadeira. - Como
é um subespaço não-trivial sobre um corpo infinito (por exemplo ), contém infinitas soluções, logo a afirmativa I também é verdadeira.
Portanto ambas as afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.