Considere a matriz A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -4 & -7\end{array}\right) no espaço vetorial real M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) das matrizes 2 \times 2. Encontre o vetor coordenada de A em relação a:
A base \mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)\right\},

Passo 1

O enunciado pede que expressemos a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -4 & -7\end{pmatrix}
como combinação linear dos vetores da base
\mathcal{B}=\Bigl\{B_1=\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&1\end{pmatrix},\,B_2=\begin{pmatrix}1&-1\\\ -1&0\end{pmatrix},\,B_3=\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&0\end{pmatrix},\,B_4=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\Bigr\}.
Como \dim M_{2\times2}(\mathbb{R})=4, existem escalares únicos c_1,c_2,c_3,c_4 tais que
c_1B_1 + c_2B_2 + c_3B_3 + c_4B_4 \;=\; A.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e igualamos entrada a entrada:
c_1\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&1\end{pmatrix} +c_2\begin{pmatrix}1&-1\\\ -1&0\end{pmatrix} +c_3\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&0\end{pmatrix} +c_4\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&3\\\ -4&-7\end{pmatrix}.

Passo 3

Comparando as quatro entradas, obtemos o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 2,\\\ c_1 - c_2 - c_3 = 3,\\\\ -\,c_1 - c_2 = -4,\\\ c_1 = -7. \end{cases}

Passo 4

Da última equação vem c_1=-7.
Na terceira, -(-7)-c_2=-4 implica 7 - c_2 = -4, logo c_2=11.
Na segunda, -7 - 11 - c_3 = 3 -18 - c_3 = 3, portanto c_3=-21.
Na primeira, -7 + 11 -21 + c_4 =2 leva a -17 + c_4 =2, assim c_4=19.

Resposta

[A]_{\mathcal{B}} = (-7,\,11,\,-21,\,19).

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