Considere a matriz
[
B=\left( \begin{array}{rrrc} 1 & 1 & -6 & -2 \\\\ 4 & 7 & 4 & 4 \\\\ -2 & -2 & 1 & -2 \\\\ -4 & -7 & 0 & -1 \end{array}\right)
Calcule o determinante de B.]

Passo 1

O enunciado dá a matriz B e pede que seja calculado o determinante de B. A matriz fornecida é
B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -6 & -2 \\\\ 4 & 7 & 4 & 4 \\\\ -2 & -2 & 1 & -2 \\\\ -4 & -7 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
O que se pede: calcular \det(B).

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação curta e didática):
  • Vou usar eliminação por operações elementares de linha para levar B a uma matriz triangular superior; para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
  • Relembrando as regras que vou usar sobre como operações de linha afetam o determinante:
    • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
    • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
    • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
  • Para manter o controle simples, usarei apenas operações do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra” (que não alteram o determinante), evitando trocas ou escalamentos sempre que possível. Assim o determinante final será simplesmente o produto das entradas da diagonal da triangular superior obtida.

Passo 3

Eliminação do primeiro pivô (entrada \,B_{11}=1): vamos zerar as entradas abaixo do primeiro elemento usando operações que não alteram o determinante.
Operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + 4R_1.
Calculemos cada linha resultante (fazendo as contas elemento a elemento):
  • Para R_2 - 4R_1:
    \begin{aligned} &4-4\cdot1 = 0,\\\ &7-4\cdot1 = 3,\\\ &4-4\cdot(-6) = 4+24 = 28,\\\ &4-4\cdot(-2) = 4+8 = 12. \end{aligned}
  • Para R_3 + 2R_1:
    \begin{aligned} &-2+2\cdot1 = 0,\\\ &-2+2\cdot1 = 0,\\\ &1+2\cdot(-6) = 1-12 = -11,\\\ &-2+2\cdot(-2) = -2-4 = -6. \end{aligned}
  • Para R_4 + 4R_1:
    \begin{aligned} &-4+4\cdot1 = 0,\\\ &-7+4\cdot1 = -3,\\\ &0+4\cdot(-6) = -24,\\\ &-1+4\cdot(-2) = -1-8 = -9. \end{aligned}
A matriz fica então
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -6 & -2 \\\\ 0 & 3 & 28 & 12 \\\\ 0 & 0 & -11 & -6 \\\\ 0 & -3 & -24 & -9 \end{pmatrix}.
Recordando: essas operações não alteraram \det(B).

Passo 4

Eliminação do segundo pivô (entrada \,B_{22}=3): queremos zerar a entrada (4,2) que atualmente é -3. Como somar um múltiplo de R_2 em R_4 não altera o determinante, fazemos
R_4 \leftarrow R_4 + R_2.
Calculemos R_4 + R_2:
\begin{aligned} &0+0 = 0,\\\ &-3+3 = 0,\\\ &-24+28 = 4,\\\ &-9+12 = 3. \end{aligned}
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -6 & -2 \\\\ 0 & 3 & 28 & 12 \\\\ 0 & 0 & -11 & -6 \\\\ 0 & 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}.
Ainda não alteramos o determinante (operações do tipo linha + múltiplo de outra linha).

Passo 5

Eliminação do terceiro pivô (entrada \,B_{33}=-11): agora queremos zerar a entrada (4,3) que é 4. Usamos uma combinação linear de R_3 adicionada a R_4. A operação
R_4 \leftarrow R_4 + \frac{4}{11}R_3
é do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra” e não altera o determinante. Vamos calcular cuidadosamente os valores:
Multiplicando R_3 por \dfrac{4}{11}:
\dfrac{4}{11}R_3 = \left(0,\,0,\,\dfrac{4}{11}\cdot(-11),\,\dfrac{4}{11}\cdot(-6)\right) = \left(0,\,0,\,-4,\,-\dfrac{24}{11}\right).
Somando a R_4=(0,0,4,3):
\begin{aligned} &0+0=0,\\\ &0+0=0,\\\ &4+(-4)=0,\\\ &3+\left(-\dfrac{24}{11}\right)=\dfrac{33}{11}-\dfrac{24}{11}=\dfrac{9}{11}. \end{aligned}
A matriz triangular superior final é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -6 & -2 \\\\ 0 & 3 & 28 & 12 \\\\ 0 & 0 & -11 & -6 \\\\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{9}{11} \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora que a matriz está triangular superior, usamos a propriedade: o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Como nenhuma das operações utilizadas mudou o determinante, temos
\det(B)=1\cdot 3\cdot(-11)\cdot\frac{9}{11}.
Façamos as contas passo a passo:
(-11)\cdot\frac{9}{11} = -9
pois o fator 11 simplifica. Então
1\cdot 3\cdot(-9) = 3\cdot(-9) = -27.
Portanto \det(B) = -27.

Resposta

-27

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