Método escolhido e por quê (explicação curta e didática):
Vou usar eliminação por operações elementares de linha para levar B a uma matriz triangular superior; para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Relembrando as regras que vou usar sobre como operações de linha afetam o determinante:
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
Para manter o controle simples, usarei apenas operações do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra” (que não alteram o determinante), evitando trocas ou escalamentos sempre que possível. Assim o determinante final será simplesmente o produto das entradas da diagonal da triangular superior obtida.
Passo 3
Eliminação do primeiro pivô (entrada \,B_{11}=1): vamos zerar as entradas abaixo do primeiro elemento usando operações que não alteram o determinante.
Recordando: essas operações não alteraram \det(B).
Passo 4
Eliminação do segundo pivô (entrada \,B_{22}=3): queremos zerar a entrada (4,2) que atualmente é -3. Como somar um múltiplo de R_2 em R_4 não altera o determinante, fazemos
Ainda não alteramos o determinante (operações do tipo linha + múltiplo de outra linha).
Passo 5
Eliminação do terceiro pivô (entrada \,B_{33}=-11): agora queremos zerar a entrada (4,3) que é 4. Usamos uma combinação linear de R_3 adicionada a R_4. A operação
R_4 \leftarrow R_4 + \frac{4}{11}R_3
é do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra” e não altera o determinante. Vamos calcular cuidadosamente os valores:
Agora que a matriz está triangular superior, usamos a propriedade: o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Como nenhuma das operações utilizadas mudou o determinante, temos