Verifique quais permutações têm a mesma estrutura de ciclos.
e
em
.
Passo 1
O enunciado dá duas permutações em
:
A pergunta é: verificar quais (se houver) têm a mesma estrutura de ciclos. Vou listar explicitamente as informações dadas:
- A permutação
é o produto . - A permutação
é o produto . - Deve-se comparar a estrutura de ciclos (ou seja, os comprimentos dos ciclos disjuntos).
Passo 2
Antes de calcular, explicação rápida e importante (modo de operação que vou usar):
- Convenção de composição: aplico a permutação escrita mais à direita primeiro. Por exemplo, em
eu aplico e depois . - O que é “estrutura de ciclos”: é o multiconjunto dos comprimentos dos ciclos disjuntos (por exemplo, um 4-ciclo com dois pontos fixos tem estrutura
; um 5-ciclo com um ponto fixo tem estrutura ). Duas permutações têm a mesma estrutura de ciclos quando, ao escrever em ciclos disjuntos, os comprimentos dos ciclos coincidem com a mesma multiplicidade.
Passo 3
Vamos calcular
aplicando
primeiro e depois
. Vou determinar
para
.
- Para
: primeiro deixa fixo, então . Depois envia . Logo . - Para
: envia . Depois deixa fixo (pois não aparece no ciclo ), então . - Para
: envia . Depois envia . Logo . - Para
: deixa fixo; depois envia . Logo . - Para
: e deixam fixo, então . - Para
: igualmente .
Agora leio os ciclos a partir dessas imagens:
. Isso forma um 4-ciclo. Os pontos
e
são fixos. Portanto, em forma de ciclos disjuntos:
(com
e
fixos). Em termos de estrutura de comprimentos:
tem um ciclo de comprimento
e dois ciclos de comprimento
, isto é, estrutura
Passo 4
Agora calculemos
, aplicando
primeiro e depois
. Determino
para
.
- Para
: deixa fixo, depois envia . Logo . - Para
: envia . Depois deixa fixo, logo . - Para
: envia . Depois deixa fixo, logo . - Para
: envia . Depois envia . Logo . - Para
: deixa fixo; depois envia . Logo . - Para
: ambos deixam fixo, então .
Agora leio o ciclo começando em
:
. Isso é um 5-ciclo. O elemento
é fixo. Assim em ciclos disjuntos:
com
fixo. A estrutura de comprimentos é
Passo 5
Comparação das estruturas:
-
tem tipo (um 4-ciclo e dois pontos fixos). -
tem tipo (um 5-ciclo e um ponto fixo).
Como os multiconjuntos de comprimentos são diferentes (
), as permutações não têm a mesma estrutura de ciclos.
Breve comentário útil para a prova: duas permutações em
têm a mesma estrutura de ciclos exatamente quando, ao escrever em ciclos disjuntos, os comprimentos dos ciclos aparecem com as mesmas multiplicidades. Essas permutações são, na verdade, conjugadas em
, mas aqui só é preciso comparar os comprimentos.
Resposta
Nenhuma.
tem disjunção
e tipo
.
tem disjunção
e tipo
.