Verifique quais permutações têm a mesma estrutura de ciclos.
\rho=(123)(24) e \tau=(143)(456) em S_{6}.

Passo 1

O enunciado dá duas permutações em S_{6}:
\rho=(1\,2\,3)(2\,4), \qquad \tau=(1\,4\,3)(4\,5\,6).
A pergunta é: verificar quais (se houver) têm a mesma estrutura de ciclos. Vou listar explicitamente as informações dadas:
  • A permutação \rho é o produto (1\,2\,3)(2\,4).
  • A permutação \tau é o produto (1\,4\,3)(4\,5\,6).
  • Deve-se comparar a estrutura de ciclos (ou seja, os comprimentos dos ciclos disjuntos).

Passo 2

Antes de calcular, explicação rápida e importante (modo de operação que vou usar):
  • Convenção de composição: aplico a permutação escrita mais à direita primeiro. Por exemplo, em (a)(b) eu aplico (b) e depois (a).
  • O que é “estrutura de ciclos”: é o multiconjunto dos comprimentos dos ciclos disjuntos (por exemplo, um 4-ciclo com dois pontos fixos tem estrutura 4,1,1; um 5-ciclo com um ponto fixo tem estrutura 5,1). Duas permutações têm a mesma estrutura de ciclos quando, ao escrever em ciclos disjuntos, os comprimentos dos ciclos coincidem com a mesma multiplicidade.

Passo 3

Vamos calcular \rho=(1\,2\,3)(2\,4) aplicando (2\,4) primeiro e depois (1\,2\,3). Vou determinar \rho(x) para x=1,2,3,4,5,6.
  • Para x=1: primeiro (2\,4) deixa 1 fixo, então (2\,4)(1)=1. Depois (1\,2\,3) envia 1\mapsto2. Logo \rho(1)=2.
  • Para x=2: (2\,4) envia 2\mapsto4. Depois (1\,2\,3) deixa 4 fixo (pois 4 não aparece no ciclo (1\,2\,3)), então \rho(2)=4.
  • Para x=4: (2\,4) envia 4\mapsto2. Depois (1\,2\,3) envia 2\mapsto3. Logo \rho(4)=3.
  • Para x=3: (2\,4) deixa 3 fixo; depois (1\,2\,3) envia 3\mapsto1. Logo \rho(3)=1.
  • Para x=5: (2\,4) e (1\,2\,3) deixam 5 fixo, então \rho(5)=5.
  • Para x=6: igualmente \rho(6)=6.
Agora leio os ciclos a partir dessas imagens: 1\mapsto2\mapsto4\mapsto3\mapsto1. Isso forma um 4-ciclo. Os pontos 5 e 6 são fixos. Portanto, em forma de ciclos disjuntos:
\rho=(1\,2\,4\,3)
(com 5 e 6 fixos). Em termos de estrutura de comprimentos: \rho tem um ciclo de comprimento 4 e dois ciclos de comprimento 1, isto é, estrutura
\text{tipo}(\rho):\\\ 4,1,1.

Passo 4

Agora calculemos \tau=(1\,4\,3)(4\,5\,6), aplicando (4\,5\,6) primeiro e depois (1\,4\,3). Determino \tau(x) para x=1,\dots,6.
  • Para x=1: (4\,5\,6) deixa 1 fixo, depois (1\,4\,3) envia 1\mapsto4. Logo \tau(1)=4.
  • Para x=4: (4\,5\,6) envia 4\mapsto5. Depois (1\,4\,3) deixa 5 fixo, logo \tau(4)=5.
  • Para x=5: (4\,5\,6) envia 5\mapsto6. Depois (1\,4\,3) deixa 6 fixo, logo \tau(5)=6.
  • Para x=6: (4\,5\,6) envia 6\mapsto4. Depois (1\,4\,3) envia 4\mapsto3. Logo \tau(6)=3.
  • Para x=3: (4\,5\,6) deixa 3 fixo; depois (1\,4\,3) envia 3\mapsto1. Logo \tau(3)=1.
  • Para x=2: ambos deixam 2 fixo, então \tau(2)=2.
Agora leio o ciclo começando em 1: 1\mapsto4\mapsto5\mapsto6\mapsto3\mapsto1. Isso é um 5-ciclo. O elemento 2 é fixo. Assim em ciclos disjuntos:
\tau=(1\,4\,5\,6\,3)
com 2 fixo. A estrutura de comprimentos é
\text{tipo}(\tau):\\\ 5,1.

Passo 5

Comparação das estruturas:
  • \rho tem tipo 4,1,1 (um 4-ciclo e dois pontos fixos).
  • \tau tem tipo 5,1 (um 5-ciclo e um ponto fixo).
Como os multiconjuntos de comprimentos são diferentes ( \{4,1,1\}\neq\{5,1\}), as permutações não têm a mesma estrutura de ciclos.
Breve comentário útil para a prova: duas permutações em S_n têm a mesma estrutura de ciclos exatamente quando, ao escrever em ciclos disjuntos, os comprimentos dos ciclos aparecem com as mesmas multiplicidades. Essas permutações são, na verdade, conjugadas em S_n, mas aqui só é preciso comparar os comprimentos.

Resposta

Nenhuma. \rho tem disjunção (1\,2\,4\,3) e tipo 4,1,1. \tau tem disjunção (1\,4\,5\,6\,3) e tipo 5,1.

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