Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3\end{array}\right].
(a) Determine todos os valores de \lambda \in \mathbb{R} tais que existe X=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] \neq \overline{0} satisfazendo A X=\lambda X. OBS. Monte e resolva o sistema linear que segue dessa identidade.
(b) Para cada valor de \lambda encontrado no item anterior, determine todas as matrizes coluna (vetores) X que satisfazem A X=\lambda X.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os valores de \lambda\in\mathbb{R} tais que exista algum vetor não-nulo X\in\mathbb{R}^3 satisfazendo
e, em seguida, para cada \lambda encontrado, determinar todos os vetores X (autovetores) que satisfazem essa igualdade. Vamos montar o sistema (A-\lambda I)X=0 e exigir condição de não trivialidade.
Passo 2
Escrevendo A-\lambda I e o sistema homogêneo (A-\lambda I)X=0 com X=(x,y,z)^T, temos