Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3\end{array}\right].
(a) Determine todos os valores de \lambda \in \mathbb{R} tais que existe X=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] \neq \overline{0} satisfazendo A X=\lambda X. OBS. Monte e resolva o sistema linear que segue dessa identidade.
(b) Para cada valor de \lambda encontrado no item anterior, determine todas as matrizes coluna (vetores) X que satisfazem A X=\lambda X.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de \lambda\in\mathbb{R} tais que exista algum vetor não-nulo X\in\mathbb{R}^3 satisfazendo
A\,X=\lambda\,X,
ou seja, os autovalores de
A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix},
e, em seguida, para cada \lambda encontrado, determinar todos os vetores X (autovetores) que satisfazem essa igualdade. Vamos montar o sistema (A-\lambda I)X=0 e exigir condição de não trivialidade.

Passo 2

Escrevendo A-\lambda I e o sistema homogêneo (A-\lambda I)X=0 com X=(x,y,z)^T, temos
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & 2 \\\\ 0 & 2-\lambda & 0 \\\\ 0 & 1 & 3-\lambda \end{pmatrix},
(A-\lambda I)\,X=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} (2-\lambda)x + 2y + 2z = 0,\\\ (2-\lambda)y = 0,\\\ \;y + (3-\lambda)z = 0. \end{cases}

Passo 3

Para existir solução X\neq0 o sistema deve ser singular, isto é,
\det(A-\lambda I)=0.
Calculamos
\det(A-\lambda I) =(2-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}2-\lambda&0\\\ 1&3-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)\bigl((2-\lambda)(3-\lambda)-0\cdot1\bigr) =(2-\lambda)^2(3-\lambda).

Passo 4

Igualando a zero, obtemos o polinômio característico
(2-\lambda)^2(3-\lambda)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=2\quad(\text{multiplicidade }2) \quad\text{ou}\quad \lambda=3\quad(\text{multiplicidade }1).

Passo 5

Caso \lambda=2\). Substituindo em \[\begin{cases} (2-2)x +2y+2z=0,\\\ (2-2)y=0,\\\ y+(3-2)z=0, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2y+2z=0,\\\\ 0=0,\\\ y+z=0. \end{cases}
Da última equação y=-z\]. O \(x é livre. Logo, tomando parâmetros \alpha=x e \beta=z, temos
y=-\beta,\quad x=\alpha,
X=(x,y,z)^T =\alpha\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad (\alpha,\beta)\neq(0,0).

Passo 6

Caso \lambda=3\). Substituindo em \[\begin{cases} (2-3)x +2y+2z=0,\\\ (2-3)y=0,\\\ y+(3-3)z=0, \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -\,x+2y+2z=0,\\\\ -\,y=0,\\\ y=0. \end{cases}
Da segunda e terceira equações vem y=0\], e da primeira segue \(x=2z. Tomando \gamma=z,
X=(x,y,z)^T =\gamma\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \quad \gamma\neq0.

Resposta

(a) Os valores de \lambda são
\lambda=2,\quad\lambda=3.
(b) Para \lambda=2, os autovetores são
X=\alpha\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad (\alpha,\beta)\neq(0,0).
Para \lambda=3, os autovetores são
X=\gamma\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \quad \gamma\neq0.

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