Considere a matriz \left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\\ a & 6 & 2 \\\\ 0 & 9 & 5\end{array}\right] onde a é um número real.
Para qual valor de a será necessária uma troca de linha durante a eliminação de Gauss?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\\ a & 6 & 2 \\\\ 0 & 9 & 5\end{array}\right]
onde a é um número real, e pergunta: para qual valor de a será necessária uma troca de linha durante a eliminação de Gauss?
Informações relevantes fornecidas:
  • A entrada (1,1) da matriz vale 1.
  • A entrada (2,1) é a.
  • A entrada (3,1) é 0.
  • Devemos realizar eliminação de Gauss (eliminação por linhas) seguindo os passos usuais da redução por pivôs.

Passo 2

Rápida lembrança do que provoca uma troca de linha na eliminação: durante a eliminação, em cada etapa escolhe-se um pivô (o elemento na diagonal da linha corrente). Se esse pivô for igual a zero, é necessário trocar a linha atual com alguma linha abaixo que tenha elemento não nulo na mesma coluna (caso exista). Se o pivô for não nulo, não é preciso trocar. Portanto, para saber quando ocorre troca, vamos verificar se algum pivô se torna zero ao longo do processo.

Passo 3

Primeira etapa da eliminação: usar o pivô em (1,1). Aqui o pivô é o elemento 1 (fixo e diferente de zero), então não há troca na primeira etapa. Vamos eliminar as entradas abaixo na coluna 1. Usamos a operação
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - a\cdot\text{linha}_1
porque o pivô é 1. A linha 3 já tem zero na primeira coluna, então nada a fazer nela nesta coluna.

Passo 4

Calculemos explicitamente a nova linha 2 componente a componente:
  • Primeiro elemento: a - a\cdot 1 = 0 (assim eliminamos a entrada (2,1)).
  • Segundo elemento: 6 - a\cdot 3 = 6 - 3a.
  • Terceiro elemento: 2 - a\cdot 2 = 2 - 2a.
Assim a matriz após a operação fica
\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 6-3a & 2-2a \\\\ 0 & 9 & 5 \end{array}\right].

Passo 5

Agora a segunda etapa da eliminação usa o pivô em (2,2), que após a operação é o elemento 6-3a. Conforme explicado, se esse pivô for zero teremos que trocar a linha 2 com alguma linha abaixo (a linha 3, se nela a mesma coluna for não nula). Logo precisamos descobrir para quais a vale
6-3a=0.

Passo 6

Resolver 6-3a=0:
6-3a=0 \quad\Longrightarrow\quad 3a=6 \quad\Longrightarrow\quad a=2.
Portanto para a=2 o pivô na posição (2,2) fica zero e será necessária uma troca de linha (desde que exista linha abaixo com elemento não nulo nessa coluna).

Passo 7

Verificar que a troca é possível quando a=2: para a=2 a entrada (3,2) é 9, que é diferente de zero. Logo ao encontrar 6-3a=0 com a=2, pode-se trocar a linha 2 com a linha 3 e continuar a eliminação. Para todo a\neq2 o pivô 6-3a é não nulo e, portanto, nenhuma troca de linha é necessária durante a eliminação.

Resposta

a=2

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