Considere a matriz \left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\\ a & 6 & 2 \\\\ 0 & 9 & 5\end{array}\right] onde a é um número real.
Para qual valor de a será necessária uma troca de linha durante a eliminação de Gauss?
onde a é um número real, e pergunta: para qual valor de a será necessária uma troca de linha durante a eliminação de Gauss?
Informações relevantes fornecidas:
A entrada (1,1) da matriz vale 1.
A entrada (2,1) é a.
A entrada (3,1) é 0.
Devemos realizar eliminação de Gauss (eliminação por linhas) seguindo os passos usuais da redução por pivôs.
Passo 2
Rápida lembrança do que provoca uma troca de linha na eliminação: durante a eliminação, em cada etapa escolhe-se um pivô (o elemento na diagonal da linha corrente). Se esse pivô for igual a zero, é necessário trocar a linha atual com alguma linha abaixo que tenha elemento não nulo na mesma coluna (caso exista). Se o pivô for não nulo, não é preciso trocar. Portanto, para saber quando ocorre troca, vamos verificar se algum pivô se torna zero ao longo do processo.
Passo 3
Primeira etapa da eliminação: usar o pivô em (1,1). Aqui o pivô é o elemento 1 (fixo e diferente de zero), então não há troca na primeira etapa. Vamos eliminar as entradas abaixo na coluna 1. Usamos a operação
Agora a segunda etapa da eliminação usa o pivô em (2,2), que após a operação é o elemento 6-3a. Conforme explicado, se esse pivô for zero teremos que trocar a linha 2 com alguma linha abaixo (a linha 3, se nela a mesma coluna for não nula). Logo precisamos descobrir para quais a vale
Portanto para a=2 o pivô na posição (2,2) fica zero e será necessária uma troca de linha (desde que exista linha abaixo com elemento não nulo nessa coluna).
Passo 7
Verificar que a troca é possível quando a=2: para a=2 a entrada (3,2) é 9, que é diferente de zero. Logo ao encontrar 6-3a=0 com a=2, pode-se trocar a linha 2 com a linha 3 e continuar a eliminação. Para todo a\neq2 o pivô 6-3a é não nulo e, portanto, nenhuma troca de linha é necessária durante a eliminação.