O sistema de equações:
\left\{\begin{array}{l} 2 y+3 z=7 \\\ x+y-z=-2 \\\\ -x+y-5 z=0 \end{array}\right.
é resolvido aplicando operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada
A=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ -1 & 1 & -5 & 0 \end{array}\right]
Identifique as operações elementares X_{1}, \ldots, X_{8} que implementam a seguinte redução:
\begin{gathered} A \xrightarrow{X_{1}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ -1 & 1 & -5 & 0 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{2}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 2 & -6 & -2 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{3}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 0 & -9 & -9 \end{array}\right] \\\ \xrightarrow{X_{4}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{5}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 0 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{6}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \\\ \xrightarrow{X_{7}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{8}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -3 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] . \end{gathered}
Resposta:
\begin{array}{ll} X_{1}=\quad, & X_{2}=\quad, \\ X_{5}=\quad, & X_{3}=\ldots, \\ X_{6}=\quad & X_{4}=\ldots, \\ X_{8}=\ldots \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para identificar as operações elementares X_{1},\dots,X_{8} sobre as linhas da matriz aumentada que transformam a matriz inicial
A=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ -1 & 1 & -5 & 0 \end{array}\right]
seguindo a sequência de matrizes dada. Ou seja, para cada seta da redução é preciso escrever qual operação sobre linhas foi aplicada (troca de linhas, multiplicação de linha por escalar não nulo, ou adição de múltiplo de uma linha em outra). As matrizes intermediárias já estão fornecidas; o objetivo é identificar explicitamente cada operação.

Passo 2

Rápida revisão didática das operações elementares sobre linhas (para lembrar a notação e o porquê):
  • Tipo 1 — troca de linhas: escreverei, por exemplo, \;R_{1}\leftrightarrow R_{2}\; para indicar que a linha 1 e a linha 2 foram trocadas de lugar.
  • Tipo 2 — multiplicar uma linha por escalar c\neq0: escrevo \;R_{i}\leftarrow c\,R_{i}\;.
  • Tipo 3 — somar um múltiplo de uma linha a outra: escrevo \;R_{j}\leftarrow R_{j}+k\,R_{i}\; (ou \;R_{j}\leftarrow R_{j}-k\,R_{i}\; se subtrair).
Essas três operações são as únicas permitidas e preservam o conjunto de soluções do sistema. Ao aplicar, verifico elemento a elemento para confirmar que a operação produz exatamente a matriz seguinte mostrada na cadeia.

Passo 3

Identificar X_{1}. A primeira transformação mostra que a linha (1,1,-1,-2) ficou em cima (virou primeira linha) e a linha (0,2,3,7) passou para a segunda linha; a terceira linha ficou igual. Isso é simplesmente uma troca entre R_{1} e R_{2}. Logo
X_{1}:\;R_{1}\leftrightarrow R_{2}.
Verificação rápida: trocando as linhas 1 e 2 de A obtém-se exatamente
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ -1 & 1 & -5 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Identificar X_{2}. Com a matriz atual, a terceira linha é (-1,1,-5,0) e a primeira linha é (1,1,-1,-2). A matriz seguinte mostra a terceira linha igual a (0,2,-6,-2). Se fizermos \;R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}\; obtemos elemento a elemento:
(-1)+1=0,\quad 1+1=2,\quad -5+(-1)=-6,\quad 0+(-2)=-2,
portanto
X_{2}:\;R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}.
Isso gera a matriz
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 2 & -6 & -2 \end{array}\right],
como desejado.

Passo 5

Identificar X_{3}. Agora a segunda linha é (0,2,3,7) e a terceira linha é (0,2,-6,-2). A próxima matriz tem a terceira linha (0,0,-9,-9). Fazer \;R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}\; dá:
0-0=0,\quad 2-2=0,\quad -6-3=-9,\quad -2-7=-9.
Logo
X_{3}:\;R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}.

Passo 6

Identificar X_{4}. A terceira linha atual é (0,0,-9,-9) e a matriz seguinte mostra (0,0,1,1). Isso é obtido multiplicando a terceira linha por -\dfrac{1}{9}. Escrevemos
X_{4}:\;R_{3}\leftarrow -\dfrac{1}{9}\,R_{3}.
Verificação: -\dfrac{1}{9}\cdot(-9)=1 e -\dfrac{1}{9}\cdot(-9)=1, produzindo exatamente (0,0,1,1).

Passo 7

Identificar X_{5}. A segunda linha antes de X_{5} é (0,2,3,7) e a terceira linha (pivô em z) é (0,0,1,1). A próxima matriz tem segunda linha (0,2,0,4). Isso se obtém eliminando o componente z da segunda linha com a terceira linha: \;R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{3}\;. Cálculo elemento a elemento:
0-3\cdot0=0,\quad 2-3\cdot0=2,\quad 3-3\cdot1=0,\quad 7-3\cdot1=4.
Portanto
X_{5}:\;R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{3}.

Passo 8

Identificar X_{6}. Após X_{5} a segunda linha é (0,2,0,4) e a matriz seguinte tem segunda linha (0,1,0,2). Isso é simplesmente dividir a segunda linha por 2, ou multiplicar por \dfrac{1}{2}. Escrevemos
X_{6}:\;R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{2}.
Verificação: \tfrac{1}{2}\cdot2=1 e \tfrac{1}{2}\cdot4=2.

Passo 9

Identificar X_{7}. A primeira linha antes de X_{7} é (1,1,-1,-2) e a terceira linha é (0,0,1,1). A matriz seguinte tem primeira linha (1,1,0,-1). Isso vem de adicionar a terceira linha à primeira: \;R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{3}\;. Cálculo:
1+0=1,\quad 1+0=1,\quad -1+1=0,\quad -2+1=-1.
Logo
X_{7}:\;R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{3}.

Passo 10

Identificar X_{8}. A primeira linha antes de X_{8} é (1,1,0,-1) e a segunda linha é (0,1,0,2). A matriz final exige primeira linha (1,0,0,-3). Fazer \;R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}\; produz:
1-0=1,\quad 1-1=0,\quad 0-0=0,\quad -1-2=-3.
Portanto
X_{8}:\;R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}.

Passo 11

Resumo rápido (motivação/final): aplicando essas 8 operações obtemos a forma escalonada reduzida final
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -3 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right],
isto é, a solução do sistema é (x,y,z)=(-3,2,1). Bom trabalho por acompanhar cada passo — essas manipulações linha a linha são exatamente o que o professor espera ver numa prova!

Resposta

X_{1}=R_{1}\leftrightarrow R_{2}
X_{2}=R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}
X_{3}=R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}
X_{4}=R_{3}\leftarrow -\dfrac{1}{9}R_{3}
X_{5}=R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{3}
X_{6}=R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{2}
X_{7}=R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{3}
X_{8}=R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}

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