Considere a matriz
. Calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a matriz
e precisamos calcular
. A matéria aqui é potenciação de matrizes, e para resolver isso, vamos precisar entender como elevar uma matriz a uma potência alta de forma simplificada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que elevar uma matriz a uma potência significa multiplicar a matriz por ela mesma várias vezes. Mas fazer isso 50 vezes manualmente seria uma chatice, né? Então, vamos procurar um padrão.
Vamos calcular algumas potências menores de
para ver se aparece um padrão:
Legal, percebeu o que tá rolando? A cada potência, o número na posição
aumenta em 1, enquanto os outros números permanecem iguais.
Passo 3
Então, dá pra generalizar isso! Parece que:
Isso significa que, para qualquer potência
, a matriz elevada fica com o número
na posição
e os outros números ficando 1 e 0 como na matriz original.
Resposta
Portanto,
.